Сокращенный перевод-пересказ статьи: .

Введение

В статье описаны основы подхода к моделированию движения объектов, который удобно применять в компьютерных играх. Этот подход прост, реализующие его программы работают быстро и достаточно устойчиво. Кроме того, для понимания его основ не требуется особых математических знаний (хотя сам подход имеет под собой твердые математические основания). С его помощью можно моделировать движение тканей, мягких и твердых тел, а также тел с учетом связей.

Физическое моделирование, т. е. моделирование движения персонажей, основанное на законах физики (а точнее - механики), изучается достаточно давно. В литературе (см. и др.) предлагаются различные подходы, много усилий вложено в создание точных и надежных алгоритмов. Точные методы моделирования движения известны в физике уже давно. Однако для игр и систем виртуальной реальности, точность - не самое главное достоинство (хотя хорошо, когда она есть). Гораздо важнее правдоподобие (программист может искажать модель реальности сколько угодно, лишь бы при этом ему удалось увлечь игрока) и скорость выполнения (на выполнение расчетов по моделированию движения отводится лишь часть времени, которое длится кадр анимации). В случае физического моделирования, термин "правдоподобие" подразумевает также устойчивость: нельзя признать удачным метод моделирования, при котором тела проникают сквозь препятствия или подпрыгивают, когда должны лежать неподвижно. Методы, описанные в данной работе, разрабатывались в первую очередь для достижения правдоподобия и скорости расчета. Они имеют высокую производительность и достаточно просты в реализации (по крайней мере, в сравнении с другими методами, решающими те же задачи).

Рассматриваемый метод является итеративным, так что, начиная с определенного шага, он может быть остановлен в любой момент. Это дает возможность выбирать между точностью расчетов и затраченным временем: если некоторая величина погрешности считается приемлемой, коду можно разрешить работать быстрее; причем величина погрешности может подбираться адаптивно во время выполнения. Метод также обрабатывает столкновения и контакты покоя (resting contact) и справляется с моделированием стопки сложенных друг на друга тел, что для многих физических движков является проблемой.

Успех применения метода складывается из правильного комбинирования и использования преимуществ нескольких техник:

• метода численного интегрирования Верле;
• обработки столкновений и проникновения тел при помощи проецирования (by projection);
• простого решателя связей (constraint solver), использующего релаксацию;
• аппроксимации квадратного корня, повышающей скорость вычислений;
• моделирования твердых тел, как частиц, соединенных связями.

К каждой из указанных техник мы дадим короткое пояснение. При написании этого документа, автор старался сделать его доступным для максимально широкой аудитории, не потеряв при этом существенной информации, необходимой для реализации. Это означает, что математические объяснения и обоснования сведены к минимуму, если только они не имеют решающего значения для понимания предмета. Цель работы состоит в том, чтобы продемонстрировать возможности реализации довольно продвинутого и устойчивого метода физического моделирования, не утонув в математических тонкостях.

Содержание организовано следующим образом. В разделе 2, описано представление системы частиц без использования скорости. Такое представление имеет ряд преимуществ, из которых наиболее существенными являются устойчивость и простота реализации связей и других ограничений (constraints). В раздел 3 описано, как происходит обработка столкновений. Затем, в разделе 4, система частиц дополняется связями, позволяющими моделировать движение ткани. Раздел 5 объясняет, как настроить систему связанных между собой частиц для моделирования твердого тела. Далее, в разделе 6, показано как реализовать соединения между телами (в частности, шарниры). Раздел 7 содержит различные короткие заметки и некоторый опыт по реализации трения.

В дальнейшем, векторы обозначаются буквами со стрелочками, а их компоненты - нижними индексами: \(\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)\) .

Метод интегрирования Верле

Сердцем симуляции (т. е. имитации физического процесса при помощи компьютерной системы) является система частиц. Обычно, при реализации такой системы предполагается, что каждая частица имеет две основные характеристики: координату (положение, position) \(\vec{x}\) и скорость \(\vec{v}\) . Тогда, новые значения координат \(\vec{x}^\prime\) и скорости \(\vec{v}^\prime\) вычисляются по формулам

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= \vec{x} + \vec{v} \Delta t, \\ \vec{v}^\prime &= \vec{v} + \vec{a} \Delta t, \end{aligned} $$

где \(\Delta t\) - шаг по времени, \(\vec{a}\) - ускорение, вычисленное в соответствии со 2-м законом Ньютона \(\vec{f}=m \vec{a}\) (где \(\vec{f}\) - суммарная сила, действующая на частицу). Приведенные формулы реализуют простейший метод численного интегрирования - метод Эйлера.

Мы рассмотрим другое описание частицы, в котором скорость не используется: вместо хранения положения и скорости каждой частицы, мы будем сохранять текущее положение частицы \(\vec{x}\) и ее положение на предыдущем шаге интегрирования \(\vec{x}^{*}\) . Предполагая шаг интегрирования постоянным, получим следующие формулы для вычисления новых значений:

$$ \begin{aligned} \vec{x}^\prime &= 2\vec{x} - \vec{x}^{*} + \vec{a} \Delta t^2, \\ \vec{x}^{*} &= \vec{x}. \end{aligned} $$

Этот способ численного интегрирования называется методом Верле (см. ) и активно используется в молекулярной динамике.

Метод Верле опирается на приближенную формулу вычисления второй производной

$$ \frac{\Delta^2 \vec{x}}{\Delta t^2} = \frac{ \frac{\vec{x}^\prime - \vec{x}}{\Delta t} - \frac{\vec{x} - \vec{x}^{*}}{\Delta t} }{\Delta t} = \frac{\vec{x}^\prime - 2\vec{x} + \vec{x}^{*}}{\Delta t^2} = \vec{a} $$

Такое приближение не является самым точным (есть и более совершенные методы численного интегрирования), зато оно устойчиво и работает быстро. Уменьшая коэффициент 2 до, скажем, 1.99, мы тем самым вводим силу сопротивления, рассеивающую энергию системы. Отметим также, что \(\vec{x}-\vec{x}^{*}\) - это расстояние, пройденное за последний шаг интегрирования (\(\vec{v}\Delta t\) ).

В конце шага интегрирования текущее положение каждой частицы \(\vec{x}\) сохраняется в соответствующей переменной \(\vec{x}^{*}\) для использования на следующем шаге. Если частиц в системе много, то вместо копирования их координат удобно использовать перенаправление указателей.

Код, реализующий описанные выше идеи, может выглядеть так (класс Vector3 содержит все необходимые операции над векторами)

class ParticleSystem { Vector3 m_x [ NUM_PARTICLES ]; // Текущее положение Vector3 m_oldx [ NUM_PARTICLES ]; // Предыдущее положение Vector3 m_a [ NUM_PARTICLES ]; // Суммарная сила (ускорение) Vector3 m_vGravity ; // Гравитация float m_fTimeStep ; public : void TimeStep (); private : void Verlet (); void SatisfyConstraints (); void AccumulateForces (); // (конструкторы, инициализацию полей и т.п. опустим) }; // шаг интегрирования методом Верле void ParticleSystem :: Verlet () { for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { Vector3 & x = m_x [ i ]; Vector3 temp = x ; Vector3 & oldx = m_oldx [ i ]; Vector3 & a = m_a [ i ]; x += x - oldx + a * fTimeStep * fTimeStep ; oldx = temp ; } } // суммирование сил, действующих на каждую частицу void ParticleSystem :: AccumulateForces () { // Все частицы находятся под действием гравитации for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) m_a [ i ] = m_vGravity ; } // проверка соблюдения наложенных связей void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { // Сейчас нам не важно, как это реализовано. } // шаг расчета void ParticleSystem :: TimeStep () { AccumulateForces (); Verlet (); SatisfyConstraints (); }

Пока все описанное выше выглядит не очень-то впечатляюще. Преимущества этого подхода станут ясны, как только мы перейдем к использованию связей и к описанию твердых тел.

Попробуйте задать \(\vec{a}=(0,0,1)\) и начальные условия \(\vec{x}=(1,0,0)\) , \(\vec{x}^*=(0,0,0)\) . Вычислите вручную несколько шагов и посмотрите, что получится.

Столкновения и обработка контактов при помощи проецирования

Способы обработки контактов между телами, основанные на использовании штрафных функций (penalty-based schemes), предполагают, что в месте контакта, где возможно проникновение тел друг в друга, нужно вставить пружину для моделирования этого контакта. Такой подход прост в реализации, но приводит к ряду серьезных проблем. В частности, очень трудно подобрать жесткость пружины так, чтобы, с одной стороны, объекты не проникали друг в друга слишком глубоко, а с другой - чтобы система не потеряла устойчивость из-за слишком большой жесткости пружин. Еще один подход к обработке столкновений заключается в том, что при обнаружении столкновения время "отматывается" назад, вплоть до точного момента контакта тел (например, с помощью бинарного поиска), затем корректируются положения и скорости тел (по известным из курса физики формулам для столкновений), после чего расчет начинается заново с этого момента времени. И так - для каждого столкновения. Не слишком экономный подход, если предполагается моделировать в реальном времени движение множества тел.

Здесь мы рассмотрим другой подход. Проникшие в препятствие частицы мы будем проецировать за пределы препятствия. Под проецированием мы понимаем перемещение частицы, настолько малое, чтобы только освободить ее от препятствия. Как правило, это предполагает перемещение частицы по направлению нормали к поверхности контакта (препятствия) - отсюда и происхождение термина "проецирование".

Рассмотрим следующий пример. Пусть наш "мир" представляет собой внутренность куба размером (0,0,0)--(1000,1000,1000) и, кроме того, коэффициент восстановления (restitution coefficient) частиц равен нулю (т. е. столкнувшиеся с поверхностью куба частицы не отражаются от нее). Чтобы координаты частиц оставались внутри куба, запишем следующий код, реализующий проецирование:

// Заставляет частицы оставаться внутри куба void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Для всех частиц Vector3 & x = m_x [ i ]; x = vmin (vmax (x , Vector3 (0 , 0 , 0 )), Vector3 (1000 , 1000 , 1000 )); } }

(vmax представляет собой покомпонентную операцию вычисления максимума, а vmin - аналогичное вычисление минимума). Это код позволяет обработать как столкновения, так и неподвижные контакты (resting contact) (т. е. случаи, когда точка покоится на поверхности куба), и сохраняет положение всех частиц внутри куба. Прелесть метода Верле в том, что соответствующие изменения в значения скоростей вносятся автоматически. В последующих вызовах TimeStep() скорость уже будет скорректирована так, чтобы не содержать составляющей, перпендикулярной поверхности куба (что соответствует нулевому значению коэффициента восстановления). См. рис.1.

Попробуйте сами проделать эти вычисления - и вы уведите, что не нужно обнулять скорость в направлении, перпендикулярном стенке куба - это происходит "само собой". Описанное может показаться тривиальным, если ограничится моделированием частиц, но основные преимущества метода Верле проявятся, как только мы перейдем к рассмотрению связей и связанных твердых тел. Т. е., прямо сейчас.

Обработка нескольких одновременно наложенных связей методом релаксации

Модель ткани обычно представляет собой систему частиц, соединенных пружинами. Дифференциальные уравнения такой системы построить несложно. Но одно дело построить, и совсем другое - решить. При этом всплывают все те проблемы, что мы имели при использовании штрафных функций: слишком жесткие пружины приводят к тому, что система уравнений сама становиться "жесткой" (stiff system), а это приводит к неустойчивости, если используются простейшие методы численного интегрирования или к медленной работе, если используются методы более совершенные - в обоих случаях головная боль обеспечена. И наоборот, слишком мягкие пружины приводят к тому, что ткань будет выглядеть нереалистично упругой.

Однако самое интересное произойдет, если устремить жесткость пружин к бесконечности: система вдруг становится разрешима даже для весьма простого (и быстрого) метода интегрирования, оставаясь при этом устойчивой. Но прежде чем мы продолжим разговор о ткани, давайте вернемся к предыдущему примеру. Куб, с которым мы имели дело, можно рассматривать как совокупность односторонних (unilateral) связей (т. е. связей, записываемых в форме неравенств) - по одной для каждой стороны куба - которые должны выполняться все время моделирования.

\begin{equation} x_i \geq 0 \ \text{and}\ x_i \leq 1000 \quad (i=1,2,3). \label{eq:C1} \end{equation}

В рассмотренном примере, для того чтобы соблюсти ограничения, накладываемые связями (чтобы частицы оставались внутри куба), достаточно просто спроектировать координаты "вылезших" частиц на поверхность куба. Эта идея описывается следующим псевдокодом:

// Псевдокод, позволяющий выполнить ограничения (1) for i = 1 , 2 , 3 set xi = min { max { xi , 0 }, 1000 }

Это можно представить себе так, будто частица и поверхность препятствия соединены бесконечно жесткой пружиной, которая, в случае удлинения, мгновенно возвращается к своей нормальной длине, равной нулю.

Расширим нашу модель, добавив к ней стержень длиной 100. Для этого нам понадобится задать две частицы (\(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) ) и потребовать, чтобы расстояние между ними всегда было равно 100. Математическая запись этой двухсторонней (bilateral) связи имеет вид:

\begin{equation} |\vec{x}_2-\vec{x}_1| = 100. \label{eq:C2} \end{equation}

Даже если в начальный момент времени положения частиц удовлетворяют условиям \eqref{eq:C2}, то уже в следующий момент эти условия, скорее всего, выполняться не будут. Для того чтобы получить корректное значение расстояния, переместим частицы, проецируя их на множество решений, описанных \eqref{eq:C2}. Для этого частицы либо отодвигаются друг от друга, либо подтягиваются ближе, в зависимости от того, мало или велико расстояние, полученное численным интегрированием. См. рис.2.

Перемещение частиц для исправления расстояния, не удовлетворяющего ограничению \eqref{eq:C2}

Псевдокод, реализующий выполнение условий \eqref{eq:C2}:

Delta = x2 - x1 ; deltalength = sqrt (delta * delta ); diff = (deltalength - restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ;

Заметим, что delta - вектор, а delta*delta - скалярное произведение. Этот псевдокод будет раздвигать или сдвигать частицы так, чтобы добиться требуемого расстояния между ними. И вновь мы можем рассматривать это как бесконечно жесткую пружину, мгновенно возвращающую себе нормальную длину, равную 100.

Теперь предположим, что, помимо условия \eqref{eq:C2}, должно выполняться и условие \eqref{eq:C1} (частицы обязаны находиться внутри куба). Может оказаться, что при попытке соблюсти условие \eqref{eq:C2}, какая-то из частиц стержня нарушит требования \eqref{eq:C1} (стержень будет торчать из куба). Можно, конечно, снова спроектировать частицу-нарушителя на поверхность куба, выполняя \eqref{eq:C1}, но тогда будет нарушено уже \eqref{eq:C2}.

Чтобы удовлетворить одновременно требованиям \eqref{eq:C1} и \eqref{eq:C2} нам нужно решить систему уравнений. Мы это и сделаем, но не напрямую: просто будем повторять два фрагмента псевдокода друг за другом какое-то количество раз, в надежде, что результат окажется полезным. Такой подход реализован в следующем коде:

// реализация моделирования стержня внутри куба void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int j = 0 ; j < NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { // Сначала выполним условия (1) for (int i = 0 ; i < NUM_PARTICLES ; i ++ ) { // Для всех частиц Vector3 & x = m_x [ i ]; x = vmin (vmax (x , Vector3 (0 , 0 , 0 )), Vector3 (1000 , 1000 , 1000 )); } // Теперь удовлетворим (2) Vector3 & x1 = m_x [ 0 ]; Vector3 & x2 = m_x [ 1 ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } }

(здесь опущена инициализация частиц). Хотя такой способ "тупого" повторения и может показаться несколько наивным, тем не менее, он сходится к решению, которое мы ищем! В математике он называется методом релаксации (или Якоби, или Гаусса-Зейделя - в зависимости от того, как именно вы это делаете, см. ). Он работает, последовательно удовлетворяя отдельные ограничения, и сходится к глобальной конфигурации, которая удовлетворяет всем ограничениям одновременно. Этот метод очень полезен в ситуациях, когда должны одновременно выполняться несколько независимых ограничений.

Число необходимых итераций зависит от моделируемой системы и характера движения. Можно сделать выбор этого числа адаптируемым, измеряя изменение, произошедшее относительно предыдущей итерации. Если мы остановим итерации слишком рано, результат будет недостаточно точным, но, благодаря методу Верле, в следующем кадре он, вероятно, будет чуть лучше, а в следующем кадре - еще лучше, и т. д. Это означает, что преждевременная остановка релаксации не уничтожит анимацию полностью, но сделает картинку более дерганой.

Моделирование ткани

Тот факт, что связь типа стержня можно рассматривать как очень жесткую пружину, позволяет использовать этот вид связей для моделирования тканей. Предположим, например, что ткань представляется шестиугольной сеткой, состоящей из треугольников. Каждый узел сетки представляет собой частицу, а каждая грань - связь типа стержня, соединяющую частицы (нормальная длина стержня равна расстоянию между соединяемыми им узлами).

Функция HandleConstraints() , отвечающая за обработку связей, использует релаксацию по всем ограничениям. Цикл релаксации может повторятся несколько раз. Однако, чтобы получить хорошо выглядящую анимацию, в большинстве случаев достаточно всего одной итерации. Это означает, что расход времени в симуляции ткани зависит в основном от того, как долго выполняются \(N\) операций вычисления квадратного корня и \(N\) делений (где \(N\) - число ребер в сетке, моделирующей ткань). Ниже мы покажем один трюк, позволяющий избавиться от вычисления квадратного корня. Но сначала рассмотрим как выглядит обработка ограничений.

// Реализация моделирования тканей struct Constraint { int particleA , particleB ; float restlength ; }; // Предположим, что массив ограничений m_constraints уже существует void ParticleSystem :: SatisfyConstraints () { for (int j = 0 ; j < NUM_ITERATIONS ; j ++ ) { for (int i = 0 ; i < NUM_CONSTRAINTS ; i ++ ) { Constraint & c = m_constraints [ i ]; Vector3 & x1 = m_x [ c . particleA ]; Vector3 & x2 = m_x [ c . particleB ]; Vector3 delta = x2 - x1 ; float deltalength = sqrt (delta * delta ); float diff = (deltalength - c . restlength ) / deltalength ; x1 -= delta * 0.5 * diff ; x2 += delta * 0.5 * diff ; } // Прикрепим одну из частиц, составляющих ткань, к началу координат m_x [ 0 ] = Vector3 (0 , 0 , 0 ); } }

Теперь обсудим, как избавиться от вычисления квадратного корня. Если все ограничения соблюдены (ну, или почти соблюдены), то, как мы уже знаем, результат вычисления квадратного корня стремится к \(r\) - нормальной длине связи (стержня). Мы используем этот факт чтобы получить приближенное выражение для функции квадратного корня. Заменим функцию \(\sqrt{x}\) членом 1-го порядка из ее разложения в ряд Тейлора в окрестности длины \(r\) (это эквивалентно одной итерации метода Ньютона-Рафсона с начальным приближением \(r\) ). После некоторых преобразований, получим следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2), использующий приближение sqrt delta = x2 - x1 ; delta *= restlength * restlength / (delta * delta + restlength * restlength ) - 0.5 ; x1 -= delta ; x2 += delta ;

Обратите внимание, что если расстояние уже удовлетворяет ограничениям (т. е., если |delta|=restlength), то мы получим delta равное (0,0,0) и никаких изменений не произойдет.

Теперь при обработке каждой связи мы больше не используем квадратные корни. Кроме того, квадрат значения restlength * restlength можно вычислить заранее. Трудоемкие операции сокращены до выполнения \(N\) делений за кадр (и доступа к соответствующей памяти) - трудно придумать что-то, работающее существенно быстрее.

Ограничения не обязательно будут удовлетворены за одну итерацию, но, благодаря методу Верле, система быстро сходится к правильному состоянию (когда все ограничения соблюдены) - буквально за несколько кадров. На самом деле, использование только одной итерации и аппроксимации квадратного корня снимает проблему жесткости системы уравнений, которая обязательно проявилась бы у системы с абсолютно жесткими стержнями.

Размещая связи-стержни между парами соседних вершин, можно распространить алгоритм моделирования ткани на моделирование растений.

Код и уравнения, рассмотренные в этом разделе предполагают, что все частицы имеют одинаковую массу. Тем же способом можно моделировать и частицы с разными массами, но полученные уравнения будут немного сложнее.

Так, соблюдение ограничения \eqref{eq:C2} для частиц с разными массами реализует следующий псевдокод:

// Псевдокод для соблюдения ограничений (2) delta = x2 - x1 ; deltalength = sqrt (delta * delta ); diff = (deltalength - restlength ) / (deltalength * (invmass1 + invmass2 )); x1 -= invmass1 * delta * diff ; x2 += invmass2 * delta * diff ;

Здесь invmass1 и invmass2 хранят обратные массы частиц \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) . Если мы хотим, чтобы частица оставаться неподвижной, нужно установить для нее invmass = 0 , что соответствует бесконечной массе. Как и выше, для ускорения расчетов можно использовать приближенное вычисление квадратного корня.

Твердые тела

Уравнения движения твердых тел были предложены задолго до изобретения современных компьютеров. Для того, чтобы в те времена получить какие-то полезные результаты, математики должны были выполнять преобразования формул. Это привело к появлению таких полезных понятий и инструментов, как тензор инерции, момент импульса, момент сил, кватернионы для представления ориентации и т. п. Между тем, имеющиеся сейчас возможности обрабатывать огромные объемы данных в цифровой форме позволяют проводить расчеты для более простых элементов, а в некоторых случаях даже делают такие расчеты более выгодными. В случае трехмерных твердых тел, это означает, что может оказаться удобным моделировать твердое тело с помощью четырех частиц и шести связей (дающих правильное количество степеней свободы: \(4 \cdot 3 - 6 = 6\) ). Это упрощает множество вещей, и именно этим мы займемся далее.

Рассмотрим тетраэдр, в каждую из четырех вершин которого помещена частица. Кроме того, каждое из шести ребер тетраэдра представляет собой ограничение типа стержня, рассмотренное в предыдущем разделе. Этого вполне достаточно, чтобы имитировать твердое тело. Тетраэдр можно поместить внутрь куба, рассмотренного выше, и интегратор Верле обеспечит его правильное движение. Функция SatisfyConstraints() должна позаботиться о двух вещах: 1) чтобы частицы оставались внутри куба, и 2) чтобы были соблюдены шесть ограничений-стержней. Сделать это, как и раньше, можно с использованием релаксации: обычно достаточно 3-х--4-х итераций. Не забывайте также об эффективном вычислении квадратного корня.

Однако ясно, что при столкновениях твердые тела будут вести себя не так как "скелетные" тетраэдры. Существует и другая проблема: до сих пор мы обнаруживали факт столкновения между твердым телом и окружающим "миром" только на основе информации о вершинах: если вершина оказывалась вне куба, она снова проектировалась вовнутрь. Это прекрасно работает, пока внутренняя часть "мира" выпукла. Если же это не так, то тетраэдр сможет проникнуть сквозь границу "мира" даже когда ни одна из его вершин эту границу не пересекала (см. рис.3, где треугольник представляет собой плоский аналог тетраэдра). Рассмотрим, как решается эта проблема.

Сначала разберем более простой вариант задачи. Возьмем стержень, поместим его в кубический "мир" и предположим, что у куба есть небольшой выступ, направленный внутрь. Теперь стержень может пересечь границы "мира", хотя обе частицы на его концах остаются внутри куба (рис.4). Мы не будем вдаваться в тонкости разработки механизма обнаружения столкновений (collision detection), так как это целая отдельная наука. Вместо этого предположим, что подсистема обнаружения столкновений уже существует и делает свое дело: позволяет определить глубину проникновения и координаты точек проникновения для каждого из двух сталкивающихся объектов. Одно из определений точек проникновения и глубины проникновения звучит так: глубина проникновения \(d_p\) - это кратчайшее расстояние, на которое нужно развести два объекта в подходящем направлении, чтобы избежать их столкновения. Точки проникновения - это точки на каждом из объектов, которыми объекты касаются друг друга после того, как упомянутый выше перенос состоялся.

Взгляните еще раз на рис.4. Здесь, после этапа численного интегрирования, стержень проник через границу. Детектор столкновений определил две точки проникновения: \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) . На рис.4а, точка \(\vec{p}\) фактически совпадает с одной из концевых частиц: \(\vec{p}=\vec{x}_1\) . На рис.4б, \(\vec{p}\) лежит между \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) на расстоянии 1/4 длины стержня от \(\vec{x}_1\) . В обоих случаях, точка \(\vec{p}\) лежит на стержне и, следовательно, ее координаты могут быть выражены в виде линейной комбинации координат точек \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) : \(\vec{p} = c_1\vec{x}_1 + c_2\vec{x}_2\) такой, что \(c_1 + c_2 = 1\) . В первом случае \(c_1 = 1\) , \(c_2 = 0\) , а во втором - \(c_1 = 0.75\) и \(c_2 = 0.25\) . Эти значения говорят нам, на какое расстояние нужно передвинуть соответствующие частицы.

Чтобы скорректировать положение стержня, переместим его так, чтобы точка \(\vec{p}\) совпала с \(\vec{q}\) . Для этого передвинем частицы \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) в направлении, заданном вектором, соединяющим \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) : .

В первом случае (рис.4а), мы просто cпроектируем \(\vec{x}_1\) за пределы области, где ей "запрещено" находиться, также как это делали раньше (в направлении \(\vec{q}\) ). Этого будет достаточно, а координаты \(\vec{x}_2\) вообще не нужно изменять. Во втором случае (рис.4б) точку \(\vec{x}_1\) также нужно перенести на большее расстояние, чем \(\vec{x}_2\) , поскольку точка \(\vec{p}\) расположена ближе к \(\vec{x}_1\) (действительно, так как \(\vec{p} = 0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2\) , то всякий раз перемещая \(\vec{x}_1\) на величину 0.75, мы перемещаем \(\vec{x}_2\) только на 0.25). Другими словами, новые положения частиц \(\vec{x}_1^\prime\) и \(\vec{x}_2^\prime\) задаются соотношениями

\begin{equation} \begin{aligned} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta}, \end{aligned} \label{eq:x_new} \end{equation}

где \(\lambda\) - неизвестная величина. Новое положение частицы \(\vec{p}\) - \(\vec{p}^\prime\) - вычисляется по формуле

$$ \vec{p}^\prime = c_1\vec{x}_1^\prime + c_2\vec{x}_2^\prime . $$

Вспомним, что мы хотим добиться, чтобы \(\vec{p}^\prime = \vec{q}\) , т. е. должны выбрать \(\lambda\) в точности таким, чтобы \(\vec{p}^\prime\) в результате совпало с \(\vec{q}\) . Так как мы перемещаем частицы только в направлении \(\vec{\Delta}\) , то \(\vec{p}\) также перемещается в направлении \(\vec{\Delta}\) и, следовательно, решение уравнения \(\vec{p}^\prime = \vec{q}\) можно найти, выразив \(\lambda\) из

\begin{equation} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} = \vec{q}\cdot\vec{\Delta} . \label{eq:pq} \end{equation}

Расписывая выражение, стоящее в левой части равенства, получим

$$ \begin{aligned} \vec{p}^\prime\cdot\vec{\Delta} &= (0.75\vec{x}_1^\prime + 0.25\vec{x}_2^\prime) \cdot\vec{\Delta} \\ &= (0.75 (\vec{x}_1 + 0.75\lambda\cdot\vec{\Delta}) + 0.25 (\vec{x}_2 + 0.25\lambda\cdot\vec{\Delta})) \cdot\vec{\Delta} \\ &= ((0.75\vec{x}_1 + 0.25\vec{x}_2)\cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 \\ &= \vec{p} \cdot\vec{\Delta} + \lambda(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2 , \end{aligned} $$

что, с учетом правой части \eqref{eq:pq}, дает

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(0.75^2 + 0.25^2)\cdot\Delta^2} . $$

Подставляя найденное \(\lambda\) в \eqref{eq:x_new}, получим скорректированные положения частиц \(\vec{x}_1\) и \(\vec{x}_2\) , при которых \(\vec{p}^\prime\) совпадет с \(\vec{q}\) .

На рис.5 показано положение, возникшее после перемещения частиц. Взаимного проникновения объектов теперь нет, но зато нарушено требование неизменности длины стержня. Чтобы это исправить, сделаем еще одну итерацию цикла релаксации (или даже несколько), после чего завершаем цикл исправлений положений частиц.

В случае тетраэдра описанная выше стратегия будет работать аналогично. Сначала находятся точки взаимопроникновения \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) (они также могут находится внутри треугольника) и \(\vec{p}\) представляется линейной комбинацией четырех частиц \(\vec{p}=c_1\vec{x}_1+c_2\vec{x}_2+c_3\vec{x}_3+c_4\vec{x}_4\) таких, что \(c_1+c_2+c_3+c_4=1\) (это потребует решения небольшой системы линейных уравнений). После того, как будет найден \(\vec{\Delta} = \vec{q}-\vec{p}\) , можно будет найти значение \(\lambda\) по формуле

$$ \lambda = \frac{(\vec{p}-\vec{q}) \cdot\vec{\Delta}}{(c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2)\cdot\Delta^2} , $$

а исправленные положения частиц определяются как

$$ \begin{align*} \vec{x}_1^\prime &= \vec{x}_1 + c_1\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_2^\prime &= \vec{x}_2 + c_2\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_3^\prime &= \vec{x}_3 + c_3\lambda\cdot\vec{\Delta}, \\ \vec{x}_4^\prime &= \vec{x}_4 + c_4\lambda\cdot\vec{\Delta}. \end{align*} $$

Итак, мы рассмотрели столкновение одного твердого тела с неподвижным "миром". Описанный выше метод можно легко обобщить для обработки столкновений нескольких твердых тел. При этом столкновения обрабатываются для одной пары тел в один момент времени и, вместо того, чтобы перемещать только \(\vec{p}\) , понадобится перемещать \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) по направлению друг к другу.

И вновь, после корректировки положений частиц во избежание взаимного проникновения тел, необходимо позаботиться о выполнении еще шести ограничений - неизменности расстояний между частицами, составляющими твердое тело. С помощью этого метода, тетраэдр можно даже вложить внутрь другого объекта, который удобнее использовать вместо самого тетраэдра при обработке столкновений. На рис.6 показан тетраэдр, помещенный в куб.

Во-первых, куб должен быть каким-то образом прикреплен к тетраэдру. Один из подходов состоит в том, что в качестве центра куба выбирается центр масс тетраэдра \(0.25\cdot (\vec{x}_1 + \vec{x}_2 + \vec{x}_3 + \vec{x}_4)\) , а затем по текущим координатам тетраэдра вычислить координаты вершин куба. При обнаружении столкновения, точка контакта \(\vec{p}\) (которая теперь расположена на кубе) обрабатывается также, как и выше. Аналогично вычисляются и обновленные значения координат частиц. Для ускорения расчетов можно заранее вычислить коэффициенты \(c_1\) --\(c_4\) для всех вершин куба. Если \(\vec{p}\) окажется вершиной, то значения \(c_1\) --\(c_4\) могут быть найдены и использованы непосредственно. В противном случае, \(\vec{p}\) лежит внутри треугольника или на одной из его сторон, и значения \(c_1\) --\(c_4\) можно получить из предварительно вычисленных значений вершин треугольника при помощи интерполяции.

Как правило, для обработки столкновений достаточно 3--4 итераций. Если релаксацию остановить слишком рано, то тела не будут вести себя как абсолютно твердые. Но это даже хорошо, ведь абсолютно твердых тел в природе не существует. Кроме того, это делает систему более устойчивой.

При перестановке положений частиц, составляющих тетраэдр, физические свойства тела должны быть изменены соответствующим образом (математически это означает, что изменяется тензор инерции тела, зависящий от положений и масс частиц).

По тому же принципу, что и тетраэдр, можно задать другую подобную конфигурацию частиц и связей, расположив частицы в точках с координатами \((0,0,0)\) , \((1,0,0)\) , \((0,1,0)\) и \((0,0,1)\) . Пусть \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , и \(\vec{c}\) - векторы, направленные из частицы 1 к частицами 2, 3 и 4, соответственно. Ограничим положения частиц, требованием, чтобы векторы \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , и \(\vec{c}\) имели единичную длину, и угол между каждой из трех пар векторов был равен \(90^\circ\) (соответствующие скалярные произведения должны быть равны нулю). Заметим, что это снова, как и в случае с тетраэдром, даст 4 частицы и 6 связей.

Сочлененные тела

Теперь мы можем соединять несколько твердых тел при помощи шарниров (цилиндрических, сферических и т. п.). Предположив, что два тела имеют одну общую частицу, мы получим сферический шарнир (pin joint), а если общими являются две частицы, то получим цилиндрический шарнир (hinge) (рис.7). Таким же образом можно связать два тела при помощью стержня или любого другого вида связи - надо только не забыть добавить код для обработки нового вида связи в цикл релаксации.

Такой подход позволяет построить полную модель сочлененного человеческого тела. Реалистичность увеличится, если дополнительно реализовать ограничения на угловые перемещения в шарнирах. Существует несколько способов реализации таких ограничений. Простейший способ предполагает использование ограничения типа стержня, которые срабатывает только тогда, когда расстояние между двумя частицами станет ниже некоторого порогового значения (в данном случае мы имеем дело с односторонней связь вида \(|\vec{x}_2 - \vec{x}_1| > 100\) ). Как следствие этого, обе частицы никогда не смогут слишком приблизиться друг к другу (рис.8).

Другой метод создания ограничений на угловые перемещения требует соблюдения следующего условия для скалярного произведения

$$ (\vec{x}_2 - \vec{x}_0)\cdot (\vec{x}_1 - \vec{x}_0) < \alpha . $$

Можно также ограничить перемещение частицы определенной плоскостью. И вновь, положения частиц, не удовлетворяющие заданным ограничениям, должны быть скорректированы. Делается это аналогично случаю стержня, хотя соответствующие формулы будут немного сложнее.

| Моделирование в электронных таблицах

Уроки 17 - 18
Моделирование в электронных таблицах

Моделирование движения тела под действием силы тяжести

Примеры движения под действием силы тяжести хорошо известны. Это и падение тела с некоторой высоты, и движение тела, брошенного вверх с некоторой скоростью, и движение тела, брошенного под углом к горизонту. Если в таких задачах не учитывать силу сопротивления воздуха, то все перечисленные виды движения описываются известными формулами. Но задачи, в которых сопротивление воздуха учитывается, не менее интересны.

ЗАДАЧА 3.24. Поражение цели

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Мальчики играют в бадминтон. Порыв ветра подхватил волан и отнес его на ветви дерева. Предстоит нелегкая задача - достать волан. Задачу можно решить несколькими способами. Каждый из способов имеет свои плюсы и минусы.

Можно, например, залезть на дерево. Но это очень опасное занятие: ветки дерева чем выше, тем тоньше. Велика вероятность падения. Можно спилить дерево. Но, видимо, еще никто не опробовал такой путь решения задачи. Если бы все выбирали такой способ решения задачи, то давно бы уже не осталось ни одного дерева. Можно ждать, когда волан упадет сам, подхваченный очередным порывом ветра. Наиболее часто волан пытаются сбить камнем. Выберем эту модель поведения и мы. Тем более, что нам известны законы движения тела.

ЦЕЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Исследовать движение тела, брошенного под углом к горизонту. Подобрать начальные значения скорости и угла бросания так, чтобы брошенное тело попало в цель.

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ

Примечание. Чтобы задать точность попадания △ , надо учитывать размеры тела.

Точность попадания △ должна быть не более половины наименьшего геометрического размера тела.

Так, например, если цель - волан размером в диаметре примерно 7 см, то △ = 3,5 см. Если цель - баскетбольное кольцо диаметром 40 см, то △ = 20 см. Если цель - аэростат высотой 5 м, то △ = 2,5 м.

II этап. Разработка модели

ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

Характеристики объектов и процесса представим в виде таблицы.

Параметры движения тела представлены на рисунке 3.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту, описывается формулами

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ

Для моделирования выберем среду табличного процессора. В этой среде табличная информационная и математическая модели объединяются в таблицу, которая содержит три области:

♦ исходные данные;
♦ промежуточные расчеты;
♦ результаты.

1. Заполните область исходных данных по образцу.

Столбцы А, В, С, D, Е, F заполнить сверху вниз аналогичными формулами.

2. Заполните область промежуточных рассчетов и результатов.

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

ТЕСТИРОВАНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТ 1

Исследовать движение тела.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2

Исследовать изменение движения тела при изменении начальной скорости.

ЭКСПЕРИМЕНТ 3

Исследовать изменение движения тела при изменении угла бросания.

ЭКСПЕРИМЕНТ 4

Изменяя начальную скорость и угол бросания, исследовать характер движения тела и его положение по отношению к цели.

ЭКСПЕРИМЕНТ 5

Изменяя исходную начальную скорость и угол, подобрать значения так, чтобы брошенное тело попало в цель с заданной точностью.

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТЕСТИРОВАНИЕ

1. Заполните столько строк расчетной таблицы, пока координата у не станет меньше нуля.

2. Сравните результаты тестового расчета с результатами, приведенными в примере расчета. Ниже в таблице представлено несколько строк с результатами расчетов по приведенным исходным данным.

3. По столбцам В и С построить диаграмму движения. Пример представлен на рисунке 3.6. Для построения диаграммы возьмите столько расчетных значений, чтобы кривая пересекла горизонтальную ось х .

4. Как определить, сколько расчетных точек надо взять для построения диаграммы?

Вывод. Для построения диаграммы надо взять расчетные значения, у которых координата y больше 0, и одно отрицательное значение.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Исследование движения тела

1. По диаграмме тестового примера опишите, как движется тело.

2. Объясните, как по диаграмме определить точку наивысшего подъема тела.

3. Объясните, что на диаграмме обозначает точка пересечения кривой с горизонтальной осью х. Как по таблице расчетов определить эту точку?

4. Определите по диаграмме, на каком расстоянии от точки броска тело упадет на землю.

5. Определите по таблице расчетов:

Наибольшую высоту подъема;
время движения до наивысшей точки;
расстояние от точки броска до точки падения на землю;
время движения до падения.

В свободной области электронной таблицы запишите результаты исследования движения тела по предложенному образцу.

6. Введите другой вариант исходных данных, заполните для них таблицу результатов эксперимента.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2. Зависимость движения тела от начальной скорости (угол бросания неизменный)

1. Изменяя начальную скорость от 5 до 20 м/с, проследите, как изменяется наибольшая высота подъема (координата у)

2. Проследите, как изменяется дальность полета (координата x) при увеличении начальной скорости.

3. Проведите расчеты для некоторого угла и результаты исследований сведите в таблицу (таблица 2), составленную на свободном поле электронной таблицы.

4. Запишите в таблицу выводы по результатам эксперимента: как изменяется высота и дальность полета при изменении начальной скорости (при неизменном угле бросания)?

ЭКСПЕРИМЕНТ 3. Зависимость движения тела от угла бросания (начальная скорость движения неизменна)

1. Проведите расчеты по модели, увеличивая угол бросания от 5° до 85° и оставляя неизменной начальную скорость (например, 15 м/с).

2. Проследите изменение высоты подъема (координата у) при увеличении угла бросания, начальная скорость неизменна.

3. Проследите изменение дальности полета (координата x) при увеличении угла бросания.

4. Результаты расчетов сведите в таблицу на свободном поле электронной таблицы (таблица 3). 

5. Запишите в таблицу выводы по результатам эксперимента: как изменяется высота и дальность полета при изменении угла бросания (при неизменной начальной скорости)?

ЭКСПЕРИМЕНТ 4. Исследование характера движения тела и его положения по отношению к цели

На рисунке 3.7 показаны варианты расположения кривой движения тела по отношению к цели. Их можно охарактеризовать следующим образом:

1. Тело при движении не достигает высоты, на которой расположена цель, и падает на землю, не достигая X ц .

2. Тело при движении не достигает высоты, на которой расположена цель, но падает на землю дальше X ц .

3. Тело при движении поднимается выше Y ц , но падает на землю, не достигая X ц .

4. Тело при движении поднимается выше Y ц и падает на землю дальше X ц .

В столбцах D, Е и F вычисляются величины S x , S y , S, которые показывают расположение тела по отношению к цели.

1. Исследуйте, что означает знак S x и S y в различные моменты времени. 

Вывод.

2. Исследуйте, как изменяется S при движении тела.

Вывод. Полное расстояние до цели сначала уменьшается, а потом увеличивается.

3. Подберите исходные данные (начальную скорость и угол бросания), соответствующие вариантам движения тела, представленным на рисунке 3.7, на свободном поле электронной таблицы (таблица 4).

ЭКСПЕРИМЕНТ 5. Подбор исходных значений для попадания в цель

Прежде всего заметим, что существует бесконечное множество вариантов исходных данных для попадания в цель. Наша задача - подобрать один вариант.

1. По столбцу F определите наименьшее значение S . В этот момент тело ближе всего пролетает к цели.

2. Постройте столбец G анализа попадания. Будем считать, что тело попало в цель, если расстояние до цели стало меньше заданной точности (ячейка $D$10) . Для этого в ячейку G16 введите формулу =ЕСЛИ(F16<$D$10; «попал»; «мимо») .

3. Изменяйте исходные данные, чтобы получить наилучшее приближение к цели.

4. Результаты исследования запишите на свободном поле электронной таблицы (таблица 5).

5. Подберите еще один набор исходных данных, при котором тело попадет в цель «навесом», то есть после прохода наивысшей точки подъема.

6. Измените координаты цели и подберите значения начальной скорости и угла бросания для нового положения цели.

Результаты и выводы, полученные в экспериментах, оформите в виде отчета в текстовом документе. В отчете приведите ответы на следующие вопросы:

1. Как движется тело, брошенное под углом к горизонту?
2. Как определить наивысшую точку подъема?
3. Как определить дальность полета?
4. Как изменяется наибольшая высота подъема при увеличении начальной скорости и неизменном угле броска?
5. Как изменяется дальность полета при увеличении начальной скорости и неизменном угле броска?
6. Как изменяется наибольшая высота подъема при увеличении угла бросания и неизменной начальной скорости?
7. Как изменяется дальность полета при увеличении угла бросания и неизменной начальной скорости?
8. Как по расчетам определить положение тела по отношению к цели в каждый момент времени? Как это определить по таблице расчетов?
9. Как изменяется расстояние от тела до цели при движении и как это определить по таблице расчетов?

ЗАДАЧА 3.25*. Движение парашютиста

* Задача повышеной сложности

I этап. Постановка задачи

ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Парашютист при падении к земле испытывает действие силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Экспериментально установлено, что сила сопротивления зависит от скорости движения: чем больше скорость, тем больше сила. При движении в воздухе эта сила пропорциональна квадрату скорости с некоторым коэффициентом сопротивления k , который зависит от конструкции парашюта и веса человека R сопр = kV 2 .Каково должно быть значение этого коэффициента, чтобы парашютист приземлился на землю со скоростью не более 8 м/с , не представляющей опасности для здоровья?

Определите цели моделирования и проведите формализацию задачи.

II этап. Разработка модели

ИНФОРМАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ

Составьте информационную модель самостоятельно.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

На рисунке 3.8 указаны силы, действующие на парашютиста. Согласно второму закону Ньютона движение под действием сил можно записать равенством. Проецируем это равенство на ось движения, подставим выражение для силы сопротивления воздуха mа = mg - kV 2 .

Получим формулу для вычисления ускорения

Будем рассчитывать скорость и расстояние, которое пролетел парашютист через равные промежутки времени △t . Формула для вычисления моментов времени имеет вид: t i+1 + t i + △t . 

где V i - скорость в начале промежутка (V o - начальная скорость). Скорость в конце промежутка (и, соответственно, в начале следующего) вычисляется по формуле равноускоренного движения

Расстояние, которое пролетел парашютист, равно сумме расстояния, пройденного к началу очередного промежутка времени (S i ), и расстояния, пройденного на этом промежутке:

КОМПЬЮТЕРНАЯ МОДЕЛЬ

Для моделирования выберем среду электронной таблицы. В этой среде информационная и математическая модели объединяются в таблицу, которая содержит три области:

♦ исходные данные;
♦ промежуточные расчеты;
♦ результаты.

1. Заполните область исходных данных.

2. Заполните расчетные столбцы А, В, С, D, в которых вычисляются параметры движения парашютиста:

Время;
скорость;
расстояние;
ускорение.

3. Введите формулы в расчетные ячейки. Пример заполнения расчетной таблицы: 

III этап. Компьютерный эксперимент

ПЛАН ЭКСПЕРИМЕНТА

ТЕСТИРОВАНИЕ

Провести тестовый расчет компьютерной модели по данным, приведенным в таблице.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1

Исследовать движение тела под действием силы тяжести и сопротивления воздуха.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2

Подобрать значение коэффициента сопротивления k для безопасного приземления парашютиста. 

ЭКСПЕРИМЕНТ 3

Исследовать зависимость скорости, ускорения от начальной скорости движения.

ЭКСПЕРИМЕНТ 4

Исследовать, как изменяется расстояние полета до стабилизации скорости падения.

ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ТЕСТИРОВАНИЕ

1. Сравните результаты тестового расчета с результатами, приведенными в примере расчета. Пример тестового расчета:

2. Постройте диаграмму изменения скорости, ускорения и расстояния в зависимости от времени.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Исследование движения тела с учетом сопротивления воздуха

1. Определите по диаграмме и по таблице, как изменяется с течением времени скорость движения парашютиста. Через сколько секунд наступает стабилизация скорости падения?

2. Определите по диаграмме и по таблице, как изменяется с течением времени ускорение парашютиста.

3. Определите по диаграмме и по таблице, какое расстояние пролетит парашютист до стабилизации скорости движения. Результаты поместите на свободном поле в электронной таблице.

4. Измените шаг времени (0,1 с) и определите скорость стабилизации движения, расстояние полета до стабилизации. Результаты исследования приведите в таблице.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2. Подбор коэффициента сопротивления

Изменяя значение коэффициента k (ячейка СЗ) , подберите скорость стабилизации движения, безопасную для приземления тренированного человека (8 м/с) .

ЭКСПЕРИМЕНТ 3. Исследование стабилизации скорости и расстояния в зависимости от начальной скорости

Парашютист, выпрыгнув из самолета, некоторое время летит в свободном падении, набирает достаточно большую скорость движения и только потом раскрывает парашют.

1. Измените значение начальной скорости (10 м/с) .

2. По таблице расчетов определите, как изменится:

Начальное ускорение;
скорость стабилизации;
расстояние полета до стабилизации скорости.

3. Результаты эксперимента запишите на свободном поле электронной таблицы. Сделайте вывод.

Результаты эксперимента 3:

Примечание. Обратите внимание, как изменяется начальное ускорение. Учтите, что оно не может быть большим, так как ускорение более 3g (30 м/с2) вызывает очень большие перегрузки.

IV этап. Анализ результатов моделирования

По результатам компьютерного эксперимента ответить на следующие вопросы:

1. Как изменяется скорость парашютиста с течением времени?
2. Как изменяется скорость парашютиста при изменении коэффициента сопротивления?
3. Каким должен быть коэффициент сопротивления, чтобы парашютист опустился на землю со скоростью 8 м/с?
4. Как изменяется скорость движения и как зависит установившаяся скорость равномерного движения парашютиста от начальной скорости?
5. Через сколько секунд после начала движения скорость парашютиста можно считать установившейся?
6. На какой высоте от земли парашютист должен раскрыть парашют, чтобы приземлиться с заданной скоростью.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.26. Баскетболист.

Пользуясь построенной моделью движения тела, брошенного под углом, рассчитать, с какой начальной скоростью и под каким углом нужно бросить баскетбольный мяч, чтобы попасть в кольцо.

При расчетах учесть следующие условия:

Начальная скорость мяча при броске может изменяться в пределах до 15 м/с;
координаты кольца у = 3 м, х = 0,5 ÷ 7 м;
точность попадания связана с диаметром кольца и равна △ = 20 см;
мяч должен попасть в кольцо «навесом», то есть после прохода наивысшей точки подъема.

Измените математическую и компьютерную модели движения тела, брошенного под углом, так, чтобы по ним можно было рассчитать движение тела, брошенного с некоторой начальной высоты y 0

3.27. Спасение утопающего.

С какой скоростью и под каким углом надо бросить с борта спасательного судна круг утопающему? При расчетах учесть следующие условия:

расстояние утопающего от корабля;
точность попадания равна △ = 0,5 м;
угол бросания может быть отрицательным;
высоту борта корабля над уровнем моря.

3.28. Акробаты.

Многие видели в цирке такой акробатический номер. Один акробат встает на прыжковую доску с одной стороны, второй прыгает на другой конец. С какой начальной скоростью и под каким углом должен взлететь вверх первый акробат, чтобы опуститься точно на плечи третьего участника номера? При расчетах учесть следующие условия:

Начальная скорость может изменяться в пределах до 10 м/с;
высоту и удаление третьего акробата;
точность попадания равна △ = 0,1 м.

Цели урока:

Обучающие (конечные результаты урока):

Знание: знать, что представляют собой процесс движения, как его организовать в Qbasic.

Понимание: уметь привести примеры движения, которые можно смоделировать на ЭВМ.

Применение: уметь составить программу, реализующую движение по заданной траектории, проверить ее на ЭВМ.

Анализ: уметь определить результаты работы строк из программы, выявить ошибки.

Синтез: уметь создать моделирующую программу с использованием движения.

Сравнительная оценка: сравнить между собой программы с использованием движения в графическом и текстовом режимах.

Развивающие: развитие общеучебных умений и навыков, воображения и фантазии.

Воспитательные: воспитание ученика самостоятельной, организованной личностью.

Оборудование:

компьютерный класс, язык программирования Qbasic, презентация по теме урока, проектор к ЭВМ, экран, карты урока, карточки с правильными ответами для самоконтроля, демонстрационные программы.

Ход урока:

Наш урок посвящен практическому применению операторов организации циклов. С их помощью мы научимся моделировать на компьютере процесс движения различных объектов.

Моделирование - это форма отражения действительности, а так как мы будем описывать движение на языке программирования, то полученные модели называют информационными.

Говоря о движении, сразу вспоминается крылатое выражение «Движение – это жизнь». И действительно, кто не хотел, чтобы неподвижная картинка на экране «ожила». Например, на ней пошел бы «настоящий» снег, неподвижный кораблик поплыл, а стрелки часов начали бы свой ход. Этому «волшебству» мы можем научиться сегодня на уроке.

Итак, вы узнаете,

Как смоделировать процесс движения по прямой;

Рассмотрите примеры программ;

Научитесь «оживлять» объекты;

Проанализируете готовые программы;

Сравните процесс движения в графическом и текстовом режимах.

Что такое движение? С физической точки зрения движение – это изменение положения тела с течением времени. Для начала мы будем моделировать движение простых объектов– точки, окружности, линий. Вспомним их форматы записи.

У каждого объекта выбирается точка с координатой (x,y), положение которой будет меняться. Если для окружности – это координата центра, то у линии (прямоугольника) - это только одна из точек.

Если мы хотим перемещать символы по экрану, то нам потребуются операторы: LOCATE для выбора положения символа и PRINT для его печати.

Каковы правила моделирования движения?

1) Выберем координаты.

2) Изобразим объект.

3) Сделаем паузу.

4) Сотрем объект (закрашивая его цветом фона, или на месте удаляемых символов будем печатать пробелы).

5) Выберем следующие координаты.

Хотелось бы обратиться к еще одному высказыванию О. Холмз: «В нашей жизни важно не столько положение, в котором мы находимся, сколько направление, в котором мы движемся». Помимо глубокого философского смысла, оно имеет самое прямое отношение к моделированию движения.

Для перемещения очень важно, по какой траектории будет двигаться объект: по прямой (в горизонтальном или вертикальном направлениям), или графикам различных функций. Сегодня мы уделим внимание только движению по прямой (в горизонтальном и вертикальном направлении).

Тренинг 1. Движение по горизонтали.

Определите по приведенным траекториям следующие данные и занесите в таблицу:

номер графика	координата X меняется			координата Y

Тренинг 2. Движение по вертикали.

Определите по приведенным траекториям следующие данные и занесите в таблицу:

номер графика	координата X	координата Y меняется

Составьте программу, моделирующую движение точки по траектории графика №_____.

Тренинг 3.

Определите по приведенным строкам программы направление, в котором движется объект (вверх, вниз, вправо или влево по экрану), обозначьте направление стрелками:

1) FOR Y= 5 TO 100 STEP 10 _____________________________

2) FOR X= 1 TO 400 STEP 1 _____________________________

3) FOR X= 300 TO 40 STEP -10 _____________________________

4) FOR Y= 200 TO 10 STEP -10 _____________________________

5) FOR Y= 105 TO 3 STEP 10 _____________________________

6) FOR X= а TO a-100 STEP -10_____________________________

Тренинг 4.

Определите результат выполнения программы:

CLS
SCREEN 12
FOR Y= 5 TO 25 STEP 1
X=10
LOCATE Y,X
PRINT “ *”
SLEEP 1
LOCATE Y,X
PRINT “ ”
NEXT Y
FOR Х= 10 TO 60 STEP 1
Y= 25
LOCATE Y,X
PRINT “ *”
SLEEP 1
LOCATE Y,X
PRINT “ ”
NEXT Х
END

Упражнения

1. В предложенной программе внести следующие изменения:
1. чтобы точка двигалась по заданной траектории из тренинга 1;
2. чтобы точка двигалась по заданной траектории из тренинга 2;
3. чтобы двигалась не точка, а окружность (радиус = 30);
4. чтобы окружность двигалась в обратном направлении;
5. чтобы двигался закрашенный прямоугольник со сторонами 50 и 30.

Подсказка. Форматы записи:

окружность CIRCLE (X, Y), R, C

закрашенный прямоугольник LINE (X,Y) – (X1,Y1), C, BF

Составить программу для моделирования движения символов по экрану, составляющих любое из предложенных слов:

Домашнее задание:

1) Смоделируйте на компьютере сюжет русской народной сказки «Колобок». Изобразите дорогу-лабиринт и колобка, который ее успешно преодолевает.

2) Действие одного из компьютерных вирусов на экране проявлялось тем, что напечатанные символы «ссыпались» вниз. Составьте программу, которая моделировала бы данный процесс.

3) Видоизмените программу, так, чтобы пользователь печатал слово в произвольном месте экрана, но его «постигала бы та же участь».

Подведение итогов урока.

Ответьте на вопросы:

1) Как организуется движение по горизонтальной траектории?

2) Как смоделировать движение по вертикали?

3) В чем отличие моделирования движения графических объектов и текстовых символов?

4) Какие процессы можно смоделировать, пользуясь полученными на уроке знаниями?

К этому уроку прилагается 3D-сцена

Краткое предисловие

Собственно говоря, в предыдущих уроках уже были упомянуты отдельные аспекты физики в Cinema 4D: так, например, в самом первом уроке на данном сайте мы с вами роняли шар на плоскую поверхность , позже физическую модель Cinema 4D рассматривали как один из способов моделирования генератора бесконечного движения . Но до сих пор это были лишь частные, крайне поверхностные и самые примитивные аспекты физики.

В данном же уроке мы с вами перейдём к самому интересному: к углублённому изучению физики в Cinema 4D на основе конкретного примера - мы попробуем создать и настроить (хотя бы в самом примитивном варианте) вполне работоспособную физическую модель движения автомобиля по пересечённой местности, имитирующую в общих чертах те же принципы, по которым автомобиль движется в реальном мире.

Необходимость применения физической модели перемещения автомобиля кроется в словах «по пересечённой местности». В большинстве случаев при моделировании автомобильного движения нет никакой необходимости в использовании физической модели: автомобили равномерно движутся по траектории (именно такой транспортный поток мы с вами учились создавать из одной модели автомобиля , помните?), визуально практически никак не взаимодействуя с окружающей обстановкой, и это легко и просто изобразить простыми средствами, не прибегая к физике. Однако как только речь заходит о сложном рельефе местности, по которой едет автомобиль, или о неординарном поведении самого автомобиля (дрифт, заносы или столкновения) - вот тут-то и настаёт черёд физики, если только мы с вами не хотим вручную расставлять огромное количество ключей и править кривые поведения трёхмерной модели для каждой секунды поведения последней (и это без гарантии визуального праводоподобия финального рендера).

Цели и задачи

Для начала определимся с целями и задачами. В данном уроке наша с вами цель - изобразить более-менее правдоподобное поведение автомобиля при движении по неровной поверхности. Конкретнее: автомобиль должен подпрыгивать и крениться при наезде на неровности, а также вывешивать колёса над выбоинами. А ещё, разумеется, он должен замедляться при преодолении нервностей и ускоряться на ровных участках.

Если бы не ускорение и замедление автомобиля в зависимости от рельефа, то возможно, мы с вами упростили бы себе задачу, «подвесив» автомобиль к движущемуся по заданной траектории невидимому «лидеру» - в этом случае автомобиль уподобился бы детским санкам, скорость которых зависит не от высоты снежных сугробов под полозьями, а от скорости шага отца, который тащит на санках сына. В нашем же случае нам с вами такой вариант решения проблемы не подходит, то есть придётся оборудовать модель автомобиля самым что ни на есть работающим двигателем. Для максимальной эффектности сделаем наш автомобиль заднеприводным внедорожником.

Приступаем?

Начнём с моделирования внешнего вида автомобиля (именно внешнего вида, а не физической модели - это не одно и то же!). Состоять наш с вами автомобиль будет всего лишь из пяти трёхмерных элементов: кузов и четыре колеса. Надеюсь, вам понятно, что каждое колесо должно быть отдельным элементом модели. Кроме того, каждое из колёс желательно сделать цельным (монолитным), то есть состоящим из одного-единственного элемента, а не из набора элементов, иначе впоследствии вы столкнётесь с массой сложностей - вам придётся скреплять между собой все элементы каждого из колёс при помощи физических модификаторов, что, на мой взгляд, было бы совершенно излишней тратой времени. Основной принцип, исходя из которого мы с вами разделили элементы модели - это возможность последующего визуального смещения элементов друг относительно друга во время движения внедорожника.

Обратите внимание, что в днище кузова внедорожника предусмотрены вырезы для колёс - оговорюсь сразу, что их отсутствие не помешало бы работе нашей будущей физической модели (позже вы сами в этом убедитесь), но во время просмотра анимации было бы видно проходящие насквозь через днище колёса, что, конечно, было бы грубой визуальной ошибкой.

А теперь переходим к самому главному: к созданию непосредственно физической модели внедорожника. Возможно, вы сразу же предположите, что наступила пора прикрепить колёса к кузову. Ни в коем случае! Ни сейчас, ни позже. И вот почему. Дело в том, что прикрепи вы колёса непосредственно к кузову - у вас опять-таки возникла бы куча сложностей: физическая модель Cinema 4D воспринимала бы колёса как находящиеся внутри кузова (т. е. как бы завязшие внутри него), и во что бы то ни стало пыталась бы высвободить их, вследствие чего вместо более-менее правдоподобного поведения колёс вы увидели бы главным образом их мелкую, безостановочную вибрацию и минимум реакции на физическое взаимодействие с прочими окружающими внедорожник объектами. Конечно, проблема эта вполне решается тонкой и длительной настройкой значений динамики сцены и моделей, вроде интервалов, по достижении которых начинается взаимодействие трёхмерных элементов, но мы с вами пойдём более простым путём.

Мы с вами пойдём более простым путём - и создадим на сей раз не визуальную, а физическую модель кузова автомобиля. В исполнении автора - это самый обычный полигональный куб. В вашем это может быть любой другой полигональный объект - главное, чтобы он не был виден под кузовом внедорожника, и чтобы он был полигональной моделью, края которой находятся достаточно далеко от колёс. Этот элемент мы условно назовём весовым центром.

Почему именно так, спросите вы? Почему это не может быть NULL-объект или сплайн?

Потому что созданный нами весовой центр по определению и в силу своего наименования предназначен для активного участия в физической модели внедорожника. Ни сплайны, ни NULL-объекты, будучи наделены физическими характеристиками, не используют последние, так как не имеют физической поверхности.

Итак, весовой центр внедорожника создан. Переходим к прикреплению колёс. При отсутствии физической модели мы просто подчинили бы их кубу (или даже кузову) в менеджере объектов, и этого было бы вполне достаточно. В нашем же случае колёса должны быть прикреплены не жёстко, а с учётом определённой физической свободы, то есть возможности слегка смещаться относительно весового центра при возникновении физического взаимодействия с другими объектами в сцене (например, с неровностями дорожного покрытия).

Именно для такого вида крепления в Cinema 4D предусмотрены объекты типа «Connector» (от англ. «connect» - «соединять»). Переходим в верхнее меню, ищем пункт «Simulation», в выпадающем из этого пункта меню выбираем подпункт «Dynamics» и в выпадающем подменю жмём «Connector».

Мы видим, что в рабочем окне появился новый объект, а в менеджере объектов - его наименование. Начнём с правого переднего колеса. Размещаем коннектор в точке, где расположен геометрический центр колеса, которое будет прикреплено с помощью коннектора к кузову - при этом сам геометрический центр колеса должен быть расположен в том месте, где у колеса как бы находится центр колёсной ступицы.

Теперь нужно настроить коннектор. Выделяем его наименование в менеджере объектов и видим открывшееся ниже окно свойств.

Первый параметр, значение которого нам следует изменить - это тип соединения (параметр «Type»), от него зависит, по каким закономерностям будет смещаться колесо относительно кузова. Очевидно, наиболее подходящим типом соединения в нашем случае будет «Wheel Suspension». В поле напротив слов «Object A» перетаскиваем из менеджера объектов наименование весового центра, на изображении ниже он обозначен как «Base» - это объект, к которому мы с вами прикрепляем колесо. В поле напротив слов «Object B» перетаскиваем наименование колеса (на изображении обозначено как «Wheel_FR», от сокращения «Wheel Front Right») - это объект, который мы с вами прикрепляем. Параметры «Attachment A» и «Attachment B» трогать не будем - они обозначают, где у объектов находятся центры масс, и выставленные по умолчанию значения в данном случае нас вполне устраивают.

Переходим к тонкой настройке коннектора.

Параметр «Ignore Collisions» («игнорировать взаимодействие») предназначен для случая, когда вы хотите избежать физического взаимодействия колеса с весовым центром - например, если параметры коннектора позволяют колесу отклоняться на угол до 45 градусов, но колесо при этом упирается в объект, к которому прикреплено, и не может отклониться на максимально разрешённый угол, то эта настройка может помочь. Параметр «Steering Angle» («Угол поворота») - это и есть тот самый максимально разрешённый угол отклонения колеса от своего первоначального положения. Параметр «Suspension Rest Position» определяет смещение колеса по вертикали в состоянии покоя (то есть в те моменты, когда колесо ни с чем не взаимодействует). В нашем с вами случае значение составляет -15 см. - если изменить его до -25, то кузов внедорожника будет поднят по отношению к колёсам ещё выше, нежели в данный момент, и дорожный просвет увеличится, но при этом понизится устойчивость внедорожника, так как весовой центр окажется выше - не правда ли, это уже напоминает баланс устойчивости автомобилей в реальном мире? От значения параметра «Suspension Stiffness» зависит мягкость подвески. Чем меньше значение, тем мягче будет подвеска. Параметр «Suspension Dumping» определяет «прыгучесть» подвески. Ну и наконец, при желании можно активировать параметры «Lower Limit Y» и «Upper Limit Y» и указать для них значения дистанций, на расстояния больше которых колесо отклониться не сможет.

Закончив настройку коннектора, повторяем ту же операцию - начиная с создания нового коннектора - для второго переднего колеса, на сей раз левого. Вместо путешествий по верхнему меню, как вы, вероятно, уже сообразили, можно просто найти созданный нами ранее коннектор правого переднего колеса, и изо всех сил вдавив и не отпуская клавишу «Ctrl» на клавиатуре, перетащить наименование коннектора на свободное место в менеджере объектов - после выполнения этой операции мы с вами получим новую копию коннектора, да к тому же унаследовавшую от своего оригинала все настройки. Главное - не забудьте сменить в поле «Object B» свойств нового коннектора наименование правого колеса на наименование левого.

С передними колёсам закончили. Переходим к задним.

И сразу же сталкиваемся с несколько неочевидным на первый взгляд вопросом: сколько двигателей должно быть у нашего внедорожника? Что за странный вопрос, скажете вы - один, естественно.

Объясню, с чем связан такой вопрос. В реальном механизме автомобиля крутящий момент передаётся на оба ведущих колеса одновременно через достаточно сложную систему механических приводов. Нам с вами нет смысла моделировать эту систему приводов, так как у нас нет задачи визуализировать внутреннее устройство внедорожника, а значит, вместо полноценной работы двигателя мы можем позволить себе любую его упрощённую физическую имитацию, лишь бы ведущие колёса крутились и толкали автомашину вперёд.

Таким образом, у нас с вами имеется два альтернативных решения: если нам позарез требутся изобразить раздельную тягу двух ведущих колёс , мы можем добавить в виртуальную конструкцию два отдельных двигателя, каждый из которых будет крутить «своё» колесо. Если же моделирование раздельной тяги нам с вами не нужно, то наиболее эффективным и простым способом привести автомобиль в движение будет создание так называемой «колёсной пары» - два наглухо сцементированных вместе колеса, которые приводятся в движение одним мотором.

В данном уроке мы с вами выберем второй, более простой способ - создание колёсной пары и её вращение одним мотором. С оговоркой, что в принципе при желании можно усложнить и этот способ - к примеру, вращать не колёсную пару, а ось с прикреплёнными к ней при помощи коннекторов ведущими колёсами, чтобы последние свободно вихлялись туда-сюда, как это уже настроено нами ранее для передних колёс. Впрочем, в данном уроке лишне усложнять себе задачу мы с вами не будем, есть желание - экспериментируйте самостоятельно на основе сцены, приложенной к этому уроку, ссылку на неё можно найти в начале урока.

Итак, решено - создаём колёсную пару: выделяем два задних колеса - можно в рабочем окне, можно в менеджер объектов, где вам удобнее - затем уже именно в менеджере объектов щёлкаем на любом из них правой клавишей мыши и в выпадающем контекстном меню ищем пункт «Connect+Delete» («Соединить и удалить»). Строкой выше в том же контекстном меню есть пункт «Connect» - он при объединении элементов создаёт новый объект, оставляя нетронутыми оригиналы объединяемых моделей, нам же с вами оригиналы раздельных задних колёс не понадобятся.

Мы видим, что задние колёса внедорожника стали одним трёхмерным элементом - то, что нам и требовалось.

Создаём ещё один коннектор - на сей раз для задней колёсной пары, и учитывая её монолитность, всего один, после чего настраиваем его. Располагаем его, естественно, в центре колёсной пары.

Теперь создаём мотор: верхнее меню, снова пункт «Simulation», выпадающее меню, подпункт «Dynamics», в выпадающем меню подпункт «Motor».

Располагаем созданный мотор там же, где коннектор для колёсной пары - посерединке между задними колёсами (или, выражаясь научно, в геометрическом центре задней колёсной пары), затем выделяем его наименование в менеджере объектов, плавно премещаем взгляд в открывшееся ниже окно свойств мотора и приступаем к настройке.

В поле рядом со словами «Object A» перетаскиваем из менеджера объектов наименование задней колёсной пары (на изображении оно обозначено как «Back Wheels»). В поле рядом со словами «Object B» ничего не перетаскиваем. Для параметра «Type» («Тип») выбираем значение «Angular» («угловой») - всё правильно, ведь для движения внедорожника созданный нами мотор должен непрерывно поворачивать ведущую колёсную пару на определённый угол. В качестве значения для параметра «Mode» («Режим») указываем «Regulate Speed» («Постоянная скорость»). Ну и наконец указываем числовые значения для параметров «Angular Target Speed» («скорость вращения цели») и «Torque» («крутящий момент»).

Вероятно, вы уже готовы запустить анимацию и проверить полученный результат. Если так, то - несколько рановато: ведь мы с вами выполнили только одну часть работы - настроили физическое воздействие на объекты, тогда как самих физических объектов у нас с вами пока нет. А колёса, скажете вы, а кузов, а весовой куб? Верно, полигональные модели созданы, но физически для сил воздействия ни колёс, ни кузова, ни весового куба пока не существует - пока колёсам, кузову и весовому кубу не назначен тег динамики. Ибо именно назначенный полигональному элементу трёхмерной сцены тег динамики обозначает, что данный элемент участвует во взаимодействии с другими элементами, обладающими динамическими характеристиками.

Приступаем к настройке физических характеристик внедорожника. А заодно и выстраиваем иерархическую структуру элементов, из которых он состоит. Первым делом создаём группу, в которой будут собраны все элементы автомобиля (если этого ещё не сделано) - это можно сделать, объединив несколько первых попавшихся под руку элементов при помощи комбинации клавиш Alt+G (напоминаю, что в отличие от общепринятого в Cinema 4D способа последовательного раздельного нажатия клавиш, эта комбинация нажимается одновременно!), либо создав NULL-объект.

Далее обзываем созданную группу неким уникальным, неповторимым и незабываемым словом (к примеру, автор назвал её «CAR») и запихиваем в неё все относящиеся к внедорожнику элементы: кузов, колёса, коннекторы, весовой куб и мотор.

Теперь обозначаем элементы группы как участников физического взаимодействия с окружающей физической моделью: выделяем наименование группы, щёлкаем на нём правой клавишей мыши, в выпадающем меню наводим курсор мыши на пункт «Dynamics Tags» («Теги динамики») и в выпадающем из последнего подменю выбираем единственный пункт - «Dynamics Body».

Если до сих пор вы внимательно знакомились с данным уроком, то, возможно, спросите: как группа «CAR», будучи NULL-объектом, может физически взимодействовать в физической модели? Верно, сам NULL-объект - никак. Зато свойства динамики могут унаследовать от него все подчинённые ему элементы, при этом отпадает необходимость назначать тег динамики каждому элементу индивидуально. Главное - правильно настроить тег динамики группы. Настраиваем: выделяем тег и в открывшемся ниже окне свойств выбираем вкладку «Dynamics», в которой активируем параметр «Enabled» (тем самым включая физику взаимодействия) и выбираем значение «On» для параметра «Dynamic» (тем самым указывая участие группы во всех общих для сцены физических правилах, типа гравитации и пр.)...

После чего переходим во вкладку «Collision» («Соприкосновение») в том же окне свойств и указываем значения, заставляющие элементы группы наследовать правила динамики: «Apply Tag to Children» («распространять действие тега на дочерние элементы») для параметра «Inherit Tag» («Наследование»), «All» («всё») для «Individual Elements» («Отдельные элементы»), галочку напротив «Self Collisions» («Собственное взаимодействие») и «Automatic (MoDynamics)» для «Shape» («Контур»). Остальные параметры настраиваем на свой вкус.

Тут будет уместно наконец-то вспомнить про кузов внедорожника. По нашей задумке, он также должен взаимодействовать с окружающей физической моделью трёхмерной сцены - например, разбрасывать носовой частью стену из картонных ящиков, - но при этом не должен взаимодействовать с другими элементами своей же группы - с весовым кубом и колёсами. Чтобы добиться такого результата, мы с вами подчиним его весовому кубу и назначим кузову индивидуальный тег динамики - точно так же, как группе элементов автомобиля, - но в теге динамики кузова отключим параметр «Dynamic» (укажем для него значение «Off») во вкладке «Dynamics» (обратите внимание, параметр «Enabled» остаётся активированным, иначе кузов вообще перестанет участвовать в физической модели сцены, и любое оказавшееся на пути внедорожника препятствие свободно пройдёт насквозь через кузов!). Во вкладке «Collision» назначенного кузову тега динамики для параметров «Inherit Tag» и «Individual Elements» можно указать соответственно «None» и «Off» - у кузова нет подчинённых элементов, которым следовало бы передавать динамические свойства кузова.

Всё, что осталось - это добавить в трёхмерную сцену неоднократно упоминавшуюся выше окружающую физическую модель - некий неровный рельеф, который в финальной анимации выявлял бы физически правдоподобную реакцию автомобиля на взаимодействие с ухабами. В приложенной к уроку сцене - это грубое подобие некоей арены с усеянной буграми сердцевиной.

В заключение

В данном уроке мы с вами изучили создание простейшей физической модели движения автомобиля - без каких-либо дополнительных плагинов и модулей, штатными средствами Cinema 4D. В уроке, как вы заметили, не рассматривается моделирование поворотов, созданная нами модель способна к движению только по прямой - разумеется, если только неровности рельефа под колёсами не изменят траекторию движения (что и происходит в нижеприведённом видеоролике). К слову говоря, автор намеренно настроил параметры физической модели трёхмерной сцены так, чтобы движение внедорожника было как бы гиперболизировано, с целью наглядно продемонстрировать взаимодействие колёс и кузова машины с неровностями. Кроме того, в приложенную к уроку сцену входят и другие, не упомянутые в уроке элементы, предназначенные для съёмки и освещения. Впоследствии, возможно, на сайте будут рассмотрены и более сложные физические модели.

Финальный результат в виде анимации.

В транспортном потоке каждый автомобиль движется либо под влиянием со стороны других участников движения, либо в отсутствии их влияния. Движение автомобиля будем называть свободным, если ни один из участников дорожного движения не оказывает влияния на движение этого автомобиля, а также на мнение водителя о дорожно-транспортной обстановке, в результате изменения которого он мог бы изменить режим движения своего автомобиля. Скорость движения такого автомобиля будем называть скоростью свободного движения на данном участке дороги.

Основанием для моделирования свободного движения автомобиля явились:

Уравнения теории эксплуатационных свойств автомобиля:

а) тягово-скоростные и тормозные свойства автомобиля;

б) уравнения криволинейного движения и устойчивости автомобиля.

Натурные наблюдения за параметрами движения автомобилей на двухполосных дорогах.

Математическая модель свободного движения автомобиля имеет следующую концептуальную основу:

Мера воздействия на органы управления автомобиля, а также мнение водителя о ДТС могут измениться только при наступлении одного из ситуаций, перечисленных ниже.

На каждом участке дороги водитель стремится поддерживать оптимальную с его точки зрения (базовую) скорость движения, которая зависит от цели и дальности поездки, вида перевозимого груза (количества пассажиров), состояния здоровья и степени утомления водителя и других факторов. Базовая скорость в модели задается случайным законом распределения, полученным в результате натурных наблюдений.

Если базовая скорость движения автомобиля на следующем участке дороги отличается от базовой скорости на текущем участке, то водитель заранее изменяет скорость движения автомобиля таким образом, чтобы к моменту въезда на новый участок скорость движения достигла величины базовой скорости на новом участке.

Водитель может через органы управления автомобиля воздействовать на параметры движения следующими способами:

а) изменить скорость движения и ускорение нажатием на педаль тормоза или акселератора (выдвижением рейки);

б) изменить передаточное число КПП, что позволяет изменить диапазон значений скорости движения автомобиля;

в) изменить направление движения автомобиля, вращением рулевого колеса.

Кроме перечисленных действий водитель может включить стоп-сигналы (нажатием педали тормоза) или сигналы поворота, что может служить причиной изменения режима движения других автомобилей.

С точки зрения обеспечения базовой скорости движения автомобиля в конкретных дорожных условиях могут возникнуть следующие характерные обстоятельства:

возможность водителя увеличить скорость движения автомобиля до базовой скорости ограничена тягово-динамическими характеристиками автомобиля;

возможность водителя уменьшить скорость движения автомобиля в режиме торможения (экстренное торможение) ограничена коэффициентом сцепления шины с дорогой и/или тормозными характеристиками автомобиля;

возможность водителя изменить скорость движения автомобиля до базовой скорости не ограничено ни тягово-динамическими или тормозными характеристиками автомобиля, ни сцепными качествами поверхности дороги.

Рассмотрим подробнее, каким образом моделируется движение автомобиля в перечисленных выше случаях.

В первом случае движение автомобиля моделируется на основе известных в теории автомобиля дифференциальных уравнений, полученными на основе уравнения силового баланса автомобиля:

P т = P п + P к + P в + P и, (2.5)

где P т - тяговая сила при установившейся скорости автомобиля;

P п - сила сопротивления подъему;

P к - сила сопротивления качению;

P в - сила сопротивления воздуху;

P и - сила сопротивления разгону (приведенная сила инерции).

Существуют различные зависимости, аппроксимирующие внешние характеристики двигателя. В рассматриваемой модели дифференциальные уравнения движения автомобиля получены на основе аппроксимации внешней характеристики двигателя, приведенной в работе :

где N e , N max - соответственно, мощность и максимальная мощность двигателя, квт;

M k - крутящий момент двигателя, Нм;

M kN - крутящий момент двигателя, при максимальной мощности, Нм;

a, b, c - постоянные коэффициенты для данного двигателя;

n - угловая скорость коленчатого вала двигателя, об/мин;

n N - угловая скорость коленчатого вала при максимальной мощности двигателя, об/мин.

После замены всех членов уравнения (2.5) на соответствующие значения и некоторых преобразований получается:

Где m a - масса автомобиля, кг;

m 0 - масса автомобиля, с номинальной нагрузкой, кг;

u k i - передаточное число коробки передач;

v - скорость движения автомобиля, м/с;

тр - коэффициент полезного действия трансмиссии;

k p - коэффициент коррекции двигателя;

Номинальная скорость движения автомобиля при i-й передаче, м/c;

G a - сила тяжести, действующий на автомобиль, Н;

k f - параметр учета влияния скорости движения на коэффициент сопротивления качению колеса;

W - фактор обтекаемости автомобиля, кг/м;

f 0 - коэффициент сопротивления качению при малой скорости движения;

б - продольный уклон дороги.

Уравнение (2.8) определяет ускорение автомобиля в зависимости от скорости движения. Для рассматриваемой имитационной модели зависимости вида “ускорение - скорость”, “путь разгона - скорость” и т. д. непригодны, поскольку при пересчете векторов-координат автомобилей через интервал времени t min (см. блок 12 на рис 2.16) возникает необходимость определения этих параметров в зависимости от времени.

С целью определения зависимости скорости движения от времени при полной подаче топлива можно проинтегрировать выражение (2.8). Пусть начальным условием будет v = v 0 при t=0. Тогда после интегрирования получим:

Проинтегрируем (2.13) еще раз, при начальных условиях t=0 и s=s 0 . Получим:

где v 0 - начальная скорость движения автомобиля;

s 0 - начальное положение автомобиля;

v 1 и v 2 - корни уравнения.

Для того чтобы получить зависимость a = a(t) нужно найти производную выражения (2. 13) по времени. Получим:

Выражения (2.13) - (2.15) позволяют пересчитать параметры движения автомобиля через произвольный промежуток времени t min , в условиях ограничения параметров движения тягово-динамическими характеристиками автомобиля.

Во втором случае моделирование движения автомобиля осуществляется при следующих допущениях:

силы реакции R x достигают максимального значения одновременно для всех колес;

коэффициенты сцепления x всех колес с дорогой, а следовательно, и ускорение автомобиля j з остаются неизменными за весь период установившегося замедления.

При таких допущениях процесс торможения может быть описан тормозной диаграммой j з = j(t) (рис. 2.3) . Весь процесс торможения с момента обнаружения опасности до полной остановки автомобиля состоит из следующих этапов:

время реакции водителя t рв;

время запаздывания t з;

время нарастания тормозного усилия t н;

время установившегося замедления t уст;

время растормаживания t р.

В случае торможения при полном использовании сил сцепления (экстренное торможение) j уст зависит только от коэффициента сцепления шин с дорогой и продольного уклона дороги, а значение ускорения можно считать постоянным:

Скорость движения и пройденный путь автомобиля в произвольный момент времени t легко определяются интегрированием выражений (2.16) и (2.17):

Рис. 2.3 Тормозная диаграмма автомобиля

И, наконец, в третьем случае водитель имеет возможность придавать автомобилю тот режим движения, который по его мнению является наиболее безопасным и целесообразным в сложившейся дорожно-транспортной ситуации. В этом случае значение ускорения находится в интервале

j уст < a < a max , (2. 20)

и определяется водителем.

С целью упрощения расчетов предполагается, что в таком режиме автомобиль движется равноускоренно до следующего особого состояния. Скорость движения и пройденный путь автомобиля через промежуток времени t в таком случае определяются следующим образом:

Теперь рассмотрим движение автомобиля в условиях изменения направления движения.

В модели предусмотрены следующие виды траекторий движения автомобилей:

прямолинейное движение;

круговое движение (угол поворота управляемых колес не изменяется);

криволинейное движение при постоянной угловой скорости поворота управляемых колес;

Маневрирование автомобилей (обгоны, перестраивания по полосам движения, повороты и т.д.) являются опасными, но в то же время неотъемлемыми элементами движения автомобилей. С изменением направления движения автомобилей связаны многочисленные конфликтные ситуации и ДТП, поскольку такие маневры, часто совершаемые внезапно для других участников дорожного движения, создают возмущения в транспортном потоке. Несмотря на это, в существующих имитационных моделях дорожного движения различных отечественных и зарубежных исследователей упрощенно описываются движение автомобиля и траектории отдельных его точек при изменении направления движения. Часто положение автомобиля на дороге задается только продольной координатой; при этом подразумевается, что в поперечном направлении автомобиль не движется, а изменение полосы движения при обгонах или маневрах перестроения происходит скачкообразно. В тех моделях, где учитывается поперечное движение, в лучшем случае движение автомобиля рассматривается как плоскопараллельное движение, при котором продольная ось автомобиля остается параллельной относительно продольной оси дороги. Такое упрощение оправдано при решении некоторых задач, таких, как определение скорости сообщения, определение пропускной способности участка дороги, при решении проблем экологии и т. д., потому что значительно упрощает модель и уменьшает объем расчетов. Однако при решении задач оценки уровня безопасности движения такое упрощение не оправдано.

Криволинейное движение автомобиля в рассматриваемой имитационной модели определяется:

координатами расчетной точки автомобиля относительно неподвижной системе координат;

курсовым углом движения автомобиля;

углом поворота управляемых колес автомобиля;

угловой скоростью поворота управляемых колес.

Расчетной точкой, относительно которого производятся все расчеты по определению координат автомобиля, в модели принята середина задней оси автомобиля. В таком случае уравнения, определяющие координаты имеют наименее громоздкий вид.

В модели движение автомобиля рассматривается как чередование прямолинейного движения, кругового движения и криволинейного движения переменного радиуса. Первые два достаточно хорошо описываются сравнительно простыми аналитическими выражениями. Рассмотрим подробней криволинейное движение (рис. 2.4). В дальнейшем будем принимать следующие допущения:

углы поворота обоих управляемых колес автомобиля равны между собой;

у колес автомобиля отсутствует боковой увод;

угловая скорость поворота управляемых колес постоянна;

расчетная точка автомобиля движется с постоянным ускорением;

автомобиль движется на плоскости (плоское движение);

отсутствует буксование колес;

крен автомобиля не влияет на траекторию.

Для оценки уровня безопасности движения первые два допущения мало значимы. Если в процессе движения значение угловой скорости поворота управляемых колес либо ускорение расчетной точки автомобиля существенно изменяется, то траектория автомобиля разбивается

на несколько участков, на каждом из которых значения указанных величин принимается постоянными.

Рис. 2.4

Таким образом, в пределах приемлемой точности вышеуказанные допущения значительно упрощают расчеты.

В работах приводятся уравнения, которые позволяют определить траекторию движения автомобиля. Так, в работе приведены следующие формулы, определяющие курсовой угол и координаты движения середины задней оси автомобиля:

где x в, y в - координаты середины задней оси автомобиля;

C 1 и C 2 - постоянные, определяемые начальными условиями;

Угол поворота управляемых колес автомобиля;

v o - скорость движения автомобиля;

k - угловая скорость поворота управляемых колес автомобиля;

L 0 - база автомобиля;

k p - режимный параметр, характеризующий режим криволинейного движения:

Аналогичные формулы, но относительно движения центра масс автомобиля приведены в работе:

где x ц.м. , y ц.м. - координаты центра масс автомобиля;

C 1 , C 2 , C 3 - постоянные, определяемые начальными условиями;

v a - скорость движения автомобиля;

v y - скорость бокового смещения центра масс автомобиля;

a - угловая скорость продольной оси автомобиля в горизонтальной плоскости.

Траектории точек автомобиля, находящихся на продольной оси, могут быть заданы зависимостью ее кривизны от времени. Однако, моделирование криволинейного движения автомобиля в неподвижной системе координат через x в, и y в, а также угла гораздо удобнее.

В уравнениях (2.23) - (2.26) скорость движения автомобиля предполагается постоянной величиной. В реальном процессе движения автомобиля в транспортном потоке часто сочетаются криволинейное движение с изменением скорости движения. Это происходит, в частности, в следующих ситуациях:

перед остановкой автомобиль одновременно уменьшает скорость движения и криволинейным движением приближается к правой кромке проезжей части;

после трогания с места автомобиль увеличивает скорость движения и по криволинейной траектории приближается к середине полосы движения;

во время обгона, особенно в первой фазе обгона с ожиданием, автомобиль меняет полосу движения и одновременно увеличивает скорость движения;

на перекрестках, после запрещающего сигнала светофора, или после пропуска помехи справа, поворачивающие автомобили двигаются криволинейно и с ускорением и т.д.

Сочетание криволинейного движения с изменением скорости движения является потенциальным источником конфликтных ситуаций, т.к. оно часто заставляет других участников движения изменить режим движения. Криволинейное движение автомобиля обязательно необходимо моделировать с учетом ускорения.

Уравнения, приведенные в разных исследованиях для определения траектории криволинейного движения, чаще всего выражают параметры движения автомобиля в виде дифференциальных уравнений или интегралов. Как правило, подынтегральные выражения имеют сложный аналитический вид и в явном виде не интегрируются. Поэтому, либо такие уравнения решаются численными, приближенными методами с применением компьютеров, либо траектория движения строится графическим или графоаналитическим методом. При решении многих конкретных задач эти методы оказываются целесообразными, особенно первый из них, при помощи которого можно рассчитать траекторию движения практически с любой точностью. Однако это достигается за счет больших затрат машинного времени счета. В течение имитационных экспериментов на задаваемом участке дороги одновременно могут находиться сотни автомобилей, каждый из которых совершает различные маневры, в том числе и криволинейное движение с ускорением. При использовании итерационных методов с целью расчета траектории движения большие затраты машинного времени неизбежны. Это резко замедляет работу имитационной модели в реальном масштабе времени. Поэтому здесь более целесообразным представляется разложение подынтегральных выражений в степенной ряд с требуемой точностью. Далее, после интегрирования полученных многочленов можно получить искомые параметры криволинейного движения в аналитическом виде.

Пусть автомобиль движется с постоянным ускорением a. Тогда выражение (2.23) принимает следующий вид:

Разложим в степенной ряд подынтегральное выражение, содержащееся в правой части (2.30) и возьмем столько членов, сколько требуется для обеспечения необходимой точности. Обозначим

Тогда (2.30) можно переписать в следующем виде:

Приближенные аналитические решения уравнений (2.24) и (2.25) также будем искать, разлагая в степенной ряд функции f()=cos(()) и g()=sin(()), где курсовой угол определяется из выражения (2.31). Производные от упомянутых функций первых нескольких порядков приведены в табл. 2.1.

Пусть в начале криволинейного движения курсовой угол автомобиля 0 =0. Тогда:

Теперь можно определить траекторию движения точки B автомобиля (рис. 2.4). Выражения (2.24) и (2.32) позволяют после интегрирования (2.24) получить

Аналогично, из выражений (2.25) и (2.33) после интегрирования (2.25) можно получить

Выражения (2.34) и (2.35) вполне приемлемы для расчета траектории движения автомобиля, если за время криволинейного движения курсовой угол автомобиля изменяется не более чем на 90°. В реальных дорожных условиях такое изменение практически никогда не превышает

Таблица 2.1

Производные от функций f(и) и g(и) первых нескольких порядков

Порядок производной n	f(n)(и), при и=0	g(n)(и), при и=0
	105 B4-588 B2-896 D2	420 B3-272 B+1120 B D2
	2520 B3 D+8160 B D	8064 B2 D-2240 D3+2176 D
	6300 B4-18960 B2+25200 B2 D2-31104 D2	945 B5+16380 B3-7936 B+57120 B D2

Таблица 2.2

Значения функций f(и) и g(и), описывающие процесс поворота автомобиля ГАЗ-24 при v 0 =10 м/с, k =0,05 рад/с, L 0 =2,8 м, 45°.

	г(и), по формуле (2.23), град	f(и), по формуле (2.23)	f(и), по формуле (2.32)	g(и), по формуле (2.23)	g(и), по формуле (2.33)

В табл. 2.2 приведены значения функций f() и g(), которые описывают процесс поворота автомобиля ГАЗ-24 при v 0 =10 м/с, k =0,05 рад/с, L 0 =2,8 м. Вычисления проводились с одной стороны с применением выражения (2.23), а с другой стороны - выражений (2.32) и (2.33). При <90° расхождения в значениях функций не превышает 0,1%, что вполне обеспечивает требуемую точность вычислений.

Координаты любой другой точки E автомобиля (рис. 2.4), находящейся от точки B на расстояниях a и b, соответственно по продольной и поперечной оси автомобиля, можно определить следующим образом:

Рассмотрим, каким образом происходит процесс поворота в имитационной модели в режиме свободного движения. До начала криволинейного движения водитель уменьшает скорость движения до значения базовой скорости свободного движения v св на участке поворота. С такой скоростью он завершает поворот, а после поворота при необходимости опять увеличивает скорость движения. Значение скорости движения v св определяется на основе натурных наблюдений.

Модель процесса поворота представляет собой последовательность трех этапов (рис. 2.5):

водитель с постоянной угловой скоростью р1 вращает рулевое колесо по/против направления часовой стрелки, при правом/левом повороте. Управляемые колеса совершают поворот с угловой скоростью k1 . Автомобиль совершает криволинейное движение. Радиус кривизны траектории движения уменьшается от + до R п (участок E 1);

водитель держит рулевое колесо в неподвижном состоянии. Автомобиль двигается по круговой траектории с постоянным радиусом поворота R п относительно центра поворота С. Этот этап в процессе поворота может отсутствовать (участок E 2);

водитель вращает рулевое колесо в обратном направлении с постоянной угловой скоростью р2 . Управляемые колеса поворачиваются с угловой скоростью k2 . Автомобиль снова движется по криволинейной траектории. Радиус кривизны траектории движения увеличивается от R п до + (участок E 3).

Первая часть неравенства (2.38) объясняется стремлением водителя удержать автомобиль на своей полосе движения. При < S 0min водитель не в состоянии предотвратить выезд автомобиля за пределы своей полосы движения, если ускорение не изменять (если ускорение изменится, то S 0min тоже изменится).

Рис. 2.5 Схема к описанию модели процесса поворота автомобиля

Вторая часть неравенства объясняется тем, что, если в начале поворота > S 0max , и в дальнейшем водитель не изменит параметры движения автомобиля (k и a), то автомобиль либо выедет за пределы проезжей части дороги, либо пересечет биссектрису OC угла ц под острым углом, т.е. в дальнейшем опять-таки выедет за пределы полосы движения. Поэтому, для предотвращения этого, водитель вынужден приближаться к повороту до тех пор, пока не выполнится второе условие неравенства (2.38) и только после этого начинать поворот.

Водитель начинает поворот на некотором расстоянии до центра O перекрестка. является случайной величиной. При принятых выше ограничениях значение величины находится в пределах:

S 0min < < S 0max (2.38)

Угловая скорость поворота управляемых колес k , которая определяется как отношение угловой скорости поворота рулевого колеса р на передаточное число рулевого механизма, рассматривается как случайная величина и определяется следующим образом:

определяется минимальное значение kmin угловой скорости поворота управляемых колес, при котором автомобиль в процессе поворота не выедет за пределы полосы движения с противоположной стороны от центра поворота С (рис. 2.6а);

определяется максимальное значение kmax угловой скорости поворота управляемых колес, при котором автомобиль в процессе поворота не выедет за пределы полосы движения со стороны центра поворота (рис. 2.6б);

определяются значения р min и р max угловой скорости поворота рулевого колеса, соответствующие значениям kmin и kmax ;

между значениями р min и р max генератором случайных чисел по заранее заданному закону распределения разыгрывается случайное число k ", которое и является значением угловой скорости поворота управляемых колес на первом этапе поворота.

Рис. 2.6 Схема к вычислению угловой скорости поворота управляемых колес автомобиля в процессе поворота

Закон распределения случайной величины k ", определяется в результате натурных наблюдений (см. п. 3.2, рис. 3.12). На третьем этапе значение угловой скорости поворота управляемых колес k "" определяется аналогично.