1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981. - 542 с.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.Н. Элементы функционального анализа. - М.: Наука, 1965. - 520 с.

3. Садовничий В.А. Теория операторов. - М.: Изд-во МГУ, 1986. - 368~с.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980. - 495 с.

5. Власова Е.А. Ряды. - М.: Изд-во МГТУ, 2000. -612 с.

6. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. - М.: Изд-во МГТУ, 2001. -700 с.

7. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 158 с.

8. Треногин В.А., Писаревский В.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

9. Власова Е.А., Феоктистов В.В., Чадов В.Б. Введение в прикладной функциональный анализ. - М.: Изд-во МГТУ, 1994. - 54 с.

10. Феоктистов В.В. Бесконечномерные пространства и применение функционального анализа в математической физике. - М: Изд-во МГТУ, 1995. - 54 с.

11. Власова Е.А., Нараленков К.М., Пугачев О.В. Функциональный анализ. – М.: Изд-во МГТУ, 2005. – 64 с.

12. Власова Е.А., Красновский Е.Е., Марчевский И.К. Функциональный анализ. –М: Изд-во МГТУ, 2009, - 77 с.

Дополнительная литература (дл)

1. Вулих Б.З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1973. - 304 с.

2. Пугачев В.С. Лекции по функциональному анализу. - М.: Изд-во МАИ, 1996. - 744 с.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1977. - 744 с.

4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. - М.: Наука, 1988. 398 с.

Лекции Модуль 1 Метрические, нормированные и гильбертовы пространства

Лекции 1-2. Понятие метрического пространства (МП), аксиомы метрики, предел последовательности элементов МП. Открытые и замкнутые множества, предельная точка. Плотные, всюду плотные, нигде не плотные множества. Непрерывные функции в метрических пространствах. Основные метрические пространства. Неравенства Гельдера и Минковского.

ОЛ-1, гл. 2, §1,2, ОЛ-3, гл.1, §2.

Лекция 3. Полные МП. Пополнение МП. Теорема о вложенных множествах в МП.

ОЛ-1, гл.2, §3, ОЛ-3, гл. 2, §3.

Лекция 4. Принцип сжимающих отображений. Примеры применения принципа сжимающих отображений. Свойства интегрального оператора Вольтерра и его степени.

ОЛ-1, гл.2, §4, ОЛ-3, гл.1, §3, ОЛ-6 §4.2.

Лекция 5. Сепарабельные пространства. Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств.

ОЛ-1, гл. 2, §7, ОЛ-3, гл. 2, §2.6, ОЛ-5, §5.4.

Лекция 6. Компактные множества в МП. Свойства отображений, непрерывных на компактных множествах. Критерий компактности множеств в МП (теорема Хаусдорфа). Критерии относительной компактности множеств в пространствах
и.

ОЛ-1, гл.2, §7, ОЛ-3, гл.2, §2.6, ОЛ-6 §4.2.

Лекции 7-8. Линейные пространства. Линейные многообразия. Бесконечномерные линейные многообразия. Прямая сумма линейных многообразий. Нормированные пространства (НП). Банаховы пространства (БП). Примеры. Лемма Рисса. Подпространства НП. Эквивалентность норм в конечномерных линейных пространствах. Замкнутость конечномерных линейных многообразий. Критерий локальной компактности НП.

ОЛ-1, гл.3, §1,3, ОЛ-3, гл.2, §1, ОЛ-5 §5.1-5.3, ОЛ-6 §4.1.

Лекция 9. Ряды в НП. Критерий Коши сходимости ряда. Теоремы об абсолютно сходящихся рядах в БП. БП со счетным базисом и сепарабельные пространства.

ОЛ-4, гл.1, §5,ОЛ-5 §5.4-5.7.

Лекции 10-11. Гильбертово пространство (ГП). Примеры. Непрерывность скалярного произведения. Равенство параллелограмма. Расстояние от точки до замкнутого выпуклого множества. Расстояние от точки до подпространства. Ортогональность элементов ГП. Ортогональное дополнение к подпространству. Разложение ГП в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Критерий всюду плотности линейного многообразия в ГП.

ОЛ-1, гл.3, §4, ОЛ-3 гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.1-6.3, ОЛ-6 §5.1.

Лекции 12-13. Ортонормированные системы (ОНС) и ряды Фурье в ГП. Неравенство Бесселя. Ортонормированные базисы в ГП. Критерии базисности ортонормированной системы в ГП. Равенство Парсеваля. Замкнутые ОНС как ортонормированные базисы. Полные ортонормированные системы (ПОНС). ПОНС как ортонормированные базисы.

ОЛ-1, гл.4, §6, ОЛ-3, гл.4, §1, ОЛ-4, гл.1, §6, ОЛ-5 §6.4-6.5.

Лекция 14. Процесс ортогонализации Грама - Шмидта. Теорема о существовании в каждом сепарабельном ГП счетного ортонормированного базиса. Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств. Теорема Рисса - Фишера.

Сочинение

Павел Власов – первый образ рабочего – коммуниста в литературе. В революционно - романтических А.М.Горький воспевает людей, «которые не умеют жалеть себя», которые совершают подвиги. Позднее Горький знакомится с сормовским рабочим Петром Заломовым, прототипом героя романа «Мать» Павла Власова.

Павел Власов – реальное воплощение героизма и подвига воспетых Горьким в революционно-романтических произведениях. П.Власов – первый образ рабочего революционера третьего этапа революционно – освободительного движения в России. Павел Власов имеет отличительные черты от революционеров предшествующего периода:

1) П. Власов – выходец из народа, из среды рабочего класса и неразрывно с ним связан;

2) П.Власов знает пути освобождения рабочего класса от угнетения, владеет теорией научного коммунизма;3) П.Власов – представитель партии, созданной В.И.Лениным.

Образ Власова в романе дан в развитии. В начале он пошёл по обычному пути молодёжи. Позднее он сближается с революционной интеллигенцией, в отличие от родителей, которые сторонились их. Он читает запрещённую литературу, активно участвует в собраниях.

В.И.Ленин говорит о рабочих: «Среди рабочих выделяются настоящие герои, которые несмотря на безобразную обстановку, находят в себе столько характера, силы и воли, чтобы учиться и вырабатывать из себя социал-демократов, рабочую интеллигенцию.» Кружок Павла Власова переходит к практической деятельности. Первое открытое выступление Павла – «история с болотной копейкой», которая закалила народ.

Сцена столкновения Павла с полицией полна глубокого смысла, показывает его убеждённость, бесстрашие, талант организатора. Речь Павла на суде говорит о его высокой культуре, преданности, политической убеждённости. В конце речи он говорит: «Победили мы - рабочие».

На суде Павел выглядит не как обвиняемый, а как обвинитель. Идейно – политическая роль Павла Власова заключается в том, что Горький раскрывает организующую и руководящую роль партии в революционной борьбе. Под влиянием Павла освобождается от ошибок Рыбин, становится на путь революционной борьбы Ниловна. Над обречённым капиталистическим миром звучат слова П.Власова: «Победили мы – рабочие!». Речь Павла на суде – это речь оратора, освобождённая от патетики; она полна лозунгами политического характера. Сравнивая речь Власова на суде, в которой он излагает программу социал-демократической партии, говорит о неизбежности победы социалистической революции, с выступлением оп поводу «болотной копейки», можно заметить, что эта речь – речь малограмотного парня, которого не поддержал народ. Она является первым этапом в развитии революционной борьбы.Второй этап наступает во время первомайской демонстрации. Здесь речь Павла более выразительна и ярка, чем в истории с «болотной копейкой». Его поддерживает основная часть рабочих.

Другие сочинения по этому произведению

Духовное обновление человека в революционной борьбе (по роману М. Горького "Мать") Духовное перерождение Ниловны в романе Горького "Мать" (Образ Ниловны). От Рахметова до Павла Власова Роман "Мать" - реалистическое произведение М.Горького Смысл заглавия романа М. Горького "Мать". Образ Ниловны Смысл названия одного из произведений русской литературы XX века. (М.Горький. «Мать».) Трудный путь матери (По роману М. Горького «Мать») Художественное своеобразие романа М. Горького "Мать" Человек и идея в романе М. Горького «Мать» «О матерях можно рассказывать бесконечно…» Сочинение по роману М. Горького «Мать» Идея романа М. Горького «Мать» Образ героев романа мать Павла, Андрея Человек и идея в романе Горького "Мать" Сюжет романа «Мать» ЧИТАЯ РОМАН М. ГОРЬКОГО \"МАТЬ\"... Идейно-композиционная роль образа Ниловны в повести М. Горького "Мать" Приемы создания портрета героя в одном из произведений русской литературы XX века. Образ Пелагеи Ниловны в романе Максима Горького "Мать" «Мать» новаторское произведение М. Горький Герои этого романа «Мать» Рождение нового человека в огне революционной борьбы «Мать», как произведение реализма Жизненный путь Ниловны Образ и характеристика Михаила Рыбина в романе «Мать» «Когда человек может назвать мать свою и по духуродной – это редкое счастье»

Анализ системы образов романа «Мать»

Образ Павла Власова

Роман «Мать» обнаруживает совершенно четкую позицию автора по отношению к общественным преобразованиям; произведение проникнуто пафосом борьбы за переустройство жизни, что длительное время давало повод для весьма односторонней оценки его в рамках советской идеологии. За «героической борьбой нового поколения революционеров» не замечали /или не хотели замечать/ живых людей, с их внутренними противоречиями, страданиями, нравственными исканиями. И ведь именно внутренний духовный мир человека интересовал величайших русских писателей, произведения которых признаны классикой мировой литературы. Односторонний подход к данному произведению, навязанный коммунистической идеологией, несомненно, не может удовлетворить современного читателя.

Вероятно, более целесообразно будет рассматривать это произведение, исследуя духовный мир героев. Так, лучшие чувства, возникающие в сердцах, зовут людей на службу высокой и светлой идее. Но когда эта идея заслоняет собой все остальное, порабощая человека, она глушит в душе его те самые чувства, которые побудили его к служению ей.

Трагичен этот парадокс. И отчетливей всего проявляется он в образе Павла Власова, который рассматривался до недавнего времени как безоговорочно положительный. Но именно в нём проявляется сильнее всего «одержимость идеей», именно здесь это явление приобретает наиболее разрушительные формы. Стремление к своей, высокой цели, перерастая в фанатизм, подавляет в душе его такие вечные человеческие чувства, как сыновья любовь, любовь к дому, к женщине. Жестоко, не по сыновьи, говорит он матери, что обречен умереть за свою идею, не хочет слушать её перед демонстрацией.

Образ Павла Власова - рабочего-революционера в значительной мере определяет новаторскую сущность романа М. Горького. В этом образе воплощен главный смысл исторического времени, те тенденции его, которые устремлены в будущее.

На наш взгляд, анализируя образ Павла нельзя ограничиваться лишь поисками ответа на вопрос: как обыкновенный рабочий парень овладевал теорией и практикой революционной борьбы? Ведь путь Павла связан с внутренним ростом, со становлением характера, с решительными изменениями в психологии рабочего человека.

Рассмотрим один из самых ярких эпизодов, где в полную меру выявляется величие духа молодого революционера, сила его идейной убежденности, неколебимая целеустремленность. В романе «Мать» есть ситуация: в ходе первомайской демонстрации наступает момент, когда голова толпы «точно ударилась обо что-то»: улицу преграждала серая стена солдат. От этой молчаливой, неподвижной стены на рабочих повеяло холодом, и люди попятились, стали отходить в сторону, прижимаясь к домам и заборам. Но по-прежнему четко и ясно звучал голос Павла.

«Товарищи! - говорил Павел. - Всю жизнь вперед - нам нет иной дороги!»

Рядом с Павлом на демонстрации его товарищи - люди, сознательно выбравшие путь борьбы, не дрогнувшие при встрече с солдатами. Почему же впереди все-таки Павел? Почему он настаивает на своем праве нести знамя? Конечно, не честолюбивыми соображениями руководствуется он при этом, а интересами дела, которому служит: он первый начал работу по воспитанию масс в слободке, он стоял во главе социал-демократического кружка, к нему шли за советом, в него поверили. Он представлял партию революционеров, и когда партия возглавила политическую борьбу рабочих, он должен был встать на самом видном и опасном месте. От этого зависело отношение рабочих к революционной пропаганде, ж той правде, которая для Павла была дороже жизни.

Первой заявкой на самостоятельность был протест против побоев отца. Четырнадцатилетний подросток остановил занесенную над его головой руку и твердо заявил: «Больше я не дамся...» Бушмин А.С. Анализ литературного произведения. СПб, 1976, с.14.

Более серьезным свидетельством рождения личности является неудовлетворенность привычной жизнью фабричной молодежи, поиск иной дороги. Когда Павел расскажет Ниловне, что читает запрещенные книги, что за это могут посадить в тюрьму, мать, сердцем измеряющая все беды, грозящие сыну, вздохнет: «Опасно ты переменился, о господи!»

Независимый, смелый ум и большое мужество нужны были, чтобы вопреки столетним традициям, вопреки правилам и обычаям, которым подчинялись и отцы и деды, уйти с торной дороги, выбрать трудный путь в царство справедливости. Не значило ли это сделать тот шаг вперед, который под силу лишь героическим натурам?

И всегда Павел будет готов пойти навстречу опасности во имя Правды, понятой им. Когда на фабрике возникнут волнения из-за «болотной копейки», Власов встанет рядом с директором и от имени рабочих громко потребует, чтобы распоряжение о вычете копейки было отменено. А ведь за это могли прогнать с работы, арестовать.

Когда ощетинившаяся штыками стена солдат «ровно и холодно» двинется навстречу демонстрантам и Андрей невольно рванется вперед, чтобы загородить Павла, тот резко потребует: «Иди рядом, товарищ!,.. Впереди - знамя!»

Когда товарищи предложили Павлу бежать из тюрьмы, он отверг этот план: ему надо было «встать во весь рост», открыто, во весь голос провозгласить лозунги социал-демократии, изложить программу своей партии.

Портрет Павла почти всегда дается через восприятие матери, которая, тревожась за него, все-таки не может не любоваться и не гордиться им: «Глаза сына горели красиво и светло», «Его голубые глаза, всегда серьезные и строгие, теперь горели так мягко и ласково», «он был красивее всех», «Мать смотрела в лицо ему и видела только глаза, гордые и смелые, жгучие», «видела лицо сына, его бронзовый лоб и глаза, горевшие ярким огнем веры». Изображение сына через восприятие матери - один из приемов выражения авторской позиции. Заражая читателя чувствами матери, заставляя его гордиться и восхищаться Павлом, Горький утверждает свой эстетический идеал.

Вглядываясь в портретные характеристики Павла, нельзя не заметить, что в них повторяются те же определения, которыми обрисован Данко.

В сердце Павла тоже горит огонь любви к людям, и главный мотив его деятельности тот же, что и у героя легенды - «Что сделаю я для людей?»

Герой горьковской легенды - символ, отразивший жажду героического дела, которая все отчетливее ощущалась в передовом русском обществе, в пролетарской среде на рубеже двух веков.

В реальных жизненных обстоятельствах решимость изменить мир во имя торжества Правды и Справедливости приводила пролетариев к идеям социализма. В конкретных исторических условиях формировался новый тип деятеля - сознательного рабочего, борца за социализм. В романе «Мать» Горький создает реалистический образ рабочего-революционера, показывает героя нового времени в типических жизненных обстоятельствах. Характер Павла Власова дан в развитии, в становлении, во внутреннем росте Шапиро Н.А. Работа с текстом на уроке словесности. М., 2005.

Вот Павел слушает мягкие упреки матери и словно впервые видит ее, замученную работой, приниженную страхом преждевременно состарившуюся, и впервые задумывается над ее судьбой. Эта жалость к матери, думы об ее жизни так естественны, так по-человечески понятны. В то же время, может быть, с этого момента и начинается духовное пробуждение Павла, работа сознания, которая приведет его на революционный путь: от мыслей о страданиях близкого человека - к раздумьям о жизни рабочей слободки - к осознанию исторической роли класса, руками которого делается все.

Вот первая речь о правде. Очень хорошо в ней чувствуются и убежденность, и молодость Павла. Он говорит взволнованно, горячо, радуясь, что нашел слова, понятные матери, - «юная гордость силою слова возвышала его веру в себя».

А после неудачной попытки организовать стачку Павел ходит сумрачный, усталый: «Молод, слабосилен я, - вот что! Не поверили мне, не пошли за моей правдой, - значит, не умел я сказать ее!..» Но не отступает, верит: сегодня не поняли - завтра поймут. В общении с людьми, с массой рабочих он проверяет истинность знаний, полученных из книг, приобретает необходимый опыт, формируется как руководитель. И вот перед нами революционер со сложившимся мировоззрением, активный борец против существующего в мире зла. Его речь на суде не только зажигает, она убеждает неопровержимой логикой.

Среди приемов создания характера важную роль играют диалоги, споры, в которые невольно включается и читатель: сопоставляет позиции спорящих, вдумывается в высказанные ими мысли, отыскивает аргументы за или против. Одна из проблем, обсуждаемых на страницах романа, - сила разума и сердца. «Только разум освободит человека! - твердо сказал Павел». «Разум силы не дает! - возражал Рыбин громко и настойчиво. - Сердце дает силу - а не голова...»

Кто прав? В чем сила разума и в чем сила сердца?

Сила разума, в понимании Павла, - это, прежде всего, сила передовых общественных идей, революционной теории, которая позволяет увидеть глубинные процессы жизни, понять ее закономерности, словно прожектором, освещает путь в будущее. Однако передовые теории не плод холодных выкладок ума. Они появляются на основе тяжкого опыта многих поколений, зачастую оплачиваются подвигом самоотречения, бескорыстными жертвами.

Ниловна, думая о людях, которые «за народ страдают, в тюрьмы идут и в Сибирь», говорит: «Любят они! Вот они чисто любят!» И за Павлом пошли рабочие, потому что сердце его обращено к ним.

Выше отмечалось, что Павел часто предстает перед читателем, освещенный материнской любовью, и таким образом автор выражает свое отношение к герою. Но материнское восприятие сына и его дела проверяется еще мнением народным: в нем признали своего вожака рабочие слободки, его судьба волнует собравшихся у здания суда незнакомых матери людей, его имя с гордостью и восхищением произносят члены рабочих кружков в городе («Он первый открыто поднял знамя нашей партии!»), листовки с его словом жадно выхватывают из рук Ниловны люди на вокзале.

В романе нет любовной интриги, которая зачастую была двигателем сюжета в известных учащимся русских романах XIX века. Однако вопрос о том, какое место в жизни революционера занимает любовь и семья, не раз возникает в ходе повествования о жизни Павла и его товарищей.

Человек, выбравший путь борьбы, должен знать, что ждет его семью, его детей, должен найти силы, чтобы перенести тоску по любимым и страх за них. Не меньше нравственных сил нужно и для того, чтобы, превыше всего поставив дело, отказаться от семьи. Но такое самоотречение вовсе не говорит об ущербности, о сердечной глухоте. Не на многих страницах романа речь идет о любви, но от этих страниц идет свет высокой человечности, нравственной чистоты. Целомудренна и строга любовь Павла и Сашеньки. Редки и скупы слова, в которых прорывается сдерживаемая нежность, зато эти слова драгоценны, так как подлинны. Тревожась за здоровье и за жизнь Павла, Сашенька понимает, что для него важней всего дело, и, разрешив себе немного помечтать о том, как она поселится в Сибири вместе с Павлом и, может быть, дети будут, она возвращается к действительности, готовая к новым расставаниям: ведь Павел не будет жить в Сибири, он обязательно уйдет, чтобы продолжать, борьбу. «Он не должен считаться со мной, и я не буду стеснять его. Мне будет тяжело расстаться с ним, но, разумеется, я справлюсь».

Как видим образ Павла - это образ человека, делающего, хотя и не по злому умыслу, несчастными тех, кому он дорог. Особенно это видно из истории его любви. В жизни перед ним постоянно возникает выбор между идеей и живой душой. И он выбирает идею… Поэтому образ Павла Власова на наш взгляд трагичен. В душе этого человека произошел разлад между самыми глубокими, корневыми, жизненными основами и идеей, целью, поставленной им самим.

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ КРУЧЕНИЯ ТОНКОСТЕННОГО СТЕРЖНЯ ПО МОДЕЛЯМ ВЛАСОВА И СЛИВКЕРА

С.Ф. ДЬЯКОВ, аспирант

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет; 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая 29, ПГК, a. 105. stass.f.dyakov@gmail. com

При проектировании строительных и мостовых конструкций в виде сложных многоэлементных систем, имеющих в своем составе тонкостенные стержни с открытым профилем поперечного сечения, возникают проблемы, связанные с учетом стесненного сечения. В статье приводится решение дифференциального уравнения закручивания стержня с учетом деформаций сдвига, а так же сравнение полученных результатов с классической теорией В.З. Власова

Ключевые слова: тонкостенный стержень, полусдвиговая теория, дифференциальное уравнение закручивания.

1. Введение

В теории тонкостенных стержней открытого профиля Власова В. З. в качестве основополагающего постулата выступает тезис об отсутствии сдвигов в срединной поверхности тонкостенного стержня. В. И. Сливкер в своей монографии предлагает теорию, которая позволяет частично учесть деформацию сдвига. Главная его мысль заключается в том, что он предлагает представить касательные напряжения как сумму двух слагаемых: касательных напряжений изгиба, порожденных поперечными силами Qx и Qy и касательных напряжений кручения, вызываемых моментом стесненного кручения Ыю. Далее предлагается пренебречь касательными напряжениями изгиба, отнеся их в разряд второстепенных, в тоже время сохранив касательные напряжения кручения. Теория с таким разделением называется полусдвиговой теорией тонкостенных стержней. Главным ее плюсом по сравнению со сдвиговой теорией является то, что она оказывается существенно проще. Рассмотрим тонкостенный стержень, работающий на кручение. В рамках полусдвиговой теории, когда угол закручивания 0(x) и мера депланации в(х) являются независимыми функциями, уравнения равновесия для стержня имеют вид:

GIx6"-^±.(6" -0) =

EIaP" +--(6 - 0) = mb

Е - модуль Юнга; G = ^2(1 + > у- коэффициент Пуассона; ¡3 - функция

меры депланации; в - угол закручивания; I . - секториальный момент инерции; 1х - крутильный момент инерции; А - площадь поперечного сечения; тх -распределенный крутящий момент по длине стержня; ть - распределенный би-

момент по длине стержня; г - полярный радиус инерции.

Задачу кручения, описываемую дифференциальными уравнениями (1) легко свести к одному уравнению третьего порядка относительно функции ¡(х) . В результате дифференциальное уравнение для задачи кручения в полусдвиговой теории тонкостенных стержней открытого профиля запишется в виде:

уЕ1 ¡"- GI¡" = тх -щт"ь, где (2)

у = 1 Н-0М} х - безразмерный геометрический параметр; 1г - полярный момент

инерции; л.. - коэффициент формы сечения.

Если деформация сдвига не учитывается, выражения в круглых скобках в (1) следует приравнять нулю, откуда следует, что:

тогда, продифференцировав второе выражение в (1) по х, суммируя с первым уравнением в (1) и подставляя выражение из (3) получим классическое дифференциальное уравнение В.З. Власова . Для сравнения справа приведено уравнение из (2):

Дифф. уравнение Власова В.З. Дифф. уравнение Сливкера В.И.

в- -к2в" = , где к = 1К ¡"-к2р" = тх -утЬ где к =

1 ЕГа " 1 №. Р Р уЕ. " В статье приводится построение матрицы жесткости и последующее определение обобщенных перемещений стержня с помощью метода конечных элементов. Целью данной статьи является получить точное уравнение углов закручивания и меры депланации стержня при различных способах его закрепления.

2. Решение дифференциального уравнения относительно функции

меры депланации

Требуется найти решение линейного неоднородного уравнения:

¡3 " - к3 " = / (х) , где (4)

(ч тх +ут"ь

} (х) =--непрерывная на участке (х0, х) функция, удовлетворяю-

щая начальным условиям.

Найдем фундаментальную систему решений однородного уравнения

¡¡"" - к3 " = 0, (5)

соответствующего уравнению (4). Общее решение уравнения (5) имеет вид:

¡3 = А + В сЬ(кх) + С sh(kx), где (6)

А, В, С - произвольные постоянные, а функции ¡¡1 = 1; ¡¡2 = Л(кх);

¡33 = sh(kx) образуют фундаментальную систему решений уравнения (5).

Общее решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных в виде:

Р = А(х) + В(х) ^(кх) + С (х) sh(kx), где (7)

функции А(х), В(х), С(х) определяются из системы уравнений: г А" (х) + В" (х)Л(кх) + С" (x)sh(kx) = 0

В"(х)к sh(kx) + С "к (х) ch(kx) = 0 , где (8)

В" (х)к2 ch(kx) + С "к 2(x)sh(kx) = f (х) Из (8) находим:

А" (х) = - Д^, В" (х) = ЛхЬСда, С (х) = - (9)

f („ (*) сЬ(к*) ^

А(х) = - Г" т+ а,; В(х) = Г" 1 (^+ а2

С (х) = -Г( ^ + «3, где

а1, а2,а3-произвольные постоянные.

Подставив (10) в (7), получим общее решение уравнения (4):

Р = а1 + а2 ch(kx) + а3 sh(kx) + |-- (- кх) -1) (11)

Получив общее решение для функции меры депланации Р(х) нужно найти общее выражение для угла закручивания в(х). Для этого воспользуемся вторым уравнением в (1), из которого выразим в"(х), и, проинтегрировав его один раз по х, получим выражение для угла закручивания:

в(х) =1 [ ^ + РР

3. Нахождение частного решения для уравнений закрученного

Для выделения из общего решения, полученного в предыдущем пункте, частного необходимо знать граничные условия - условия закрепления стержня. Рассмотрим несколько различных случаев закрепления и загружения стержня. Для сравнения в табл. 1 справа приведем частные решения для тех же случаев по теории Власова. Выражения для в (х) подробно указаны в (приложение

7), выражения для Р(х) частично можно посмотреть в , частично получить дифференцированием по х.

Таблица 1. Решение задачи по двум теориям

Полусдвиговая теория Сливкера | Бессдвиговая теория Власова

Таблица 1. Продолжение

{ кху(Ь - х)-2Ь sh (кЬ/2 - ^) sh (^)

[ k1 х (Ь - х)-

Ь Ь sh (кх - кЬ/)

в(0) = 0 ¡(0) = 0

ув" (Ь)- ¡(Ь) = 0 3 " (Ь) = 0

GIxk У сИ (кЬ)

[+Л (кх)-1 +

К2 ху1Ь - х ^ Л (кЬ) --кЬ sh (кЬ) + кЬ sh (кЬ - кх)]

к12 х I Ь -I ch (к1 Ь) +

GIxk12 Л (кЬ) + Л (к1 х) -1 - к1Ь sh (к1 Ь) + + к1Ь sh (к1 Ь - к1 х)]

¡3 01хк сИ (кЬ)

[к (Ь - х) сИ (кЬ)

[к1 (Ь - х) сИ (к1Ь)

(кх) - кЬ сИ (кЬ - кх)]

GIxk1 сИ (к1Ь) + sh (к1 х) - к1Ь сИ (к1Ь - к1 х)]

Таблица 1. Окончание

Полусдвиговая теория Сливкера |_Бессдвиговая теория Власова

в(0) = 0 Р(0) = 0

^в" (Ь)-Р(Ь)=^

О!хку еИ (кЬ)

[ кхуеИ (кЬ)■

sh (кЬ) + sh (кЬ - кх)]

О1кх еИ (кЬ) + sh (к1Ь - к1х)]

[к1 х еИ (к1Ь) - sh (к1Ь)

О1х еИ (кЬ) - сИ (кЬ - кх)]

О!х сИ (кЬ)

еИ (к1 Ь - к1х)]

в(0) = 0 Р(0) = 0

ув" (Ь)- Р(Ь) = 0

Р (Ь)=Вк2У У " в!.

В [сИ (кх)-1]

В [еИ (к1х)-1]

О!х еosh(k1L)

Вку sh (кх) 01х еosh(kL)

в(0) = 0 Р(0) = 0

Вк sh (к1х) О!х еosh(k1L)

ув" (Ь)- Р(Ь) = 0

sh (к1Ь) - sh (к1 Ь - к1 х) к1 еosh (к1 Ь)

sh (к1Ь)- sh (к1Ь - к1х) к1 еosh (к1Ь)

еИ (кЬ - кх) cosh (кЬ)

еИ (к1Ь - к1х) cosh (к1 Ь)

Сравнивая выражения в правом и левом столбцах, можно заметить, что они практически идентичны, и отличаются лишь присутствием в некоторых слагаемых сомножителя у. Поскольку учет сдвига в полусдвиговой теории проявляется с помощью коэффициента у, то целесообразным является исследовать от чего зависит его величина и в каких интервалах они изменяется.

4. Влияние коэффициента у на величину перемещений стержня

Как уже отмечалось выше, коэффициент у является безразмерным геометрическим параметром, в выражение для которого входит безразмерный коэффициент формы сечения, который может быть найден из формулы :

= ^ Г ^ ds , где

Секториальный статический момент отсеченной части сечения; г - толщина стенки. Подставив (13) в выражение для коэффициента у получим следующее выражение:

у = 1 + ^ Г^ds 12 Л г

Для тонкостенных стержней открытого профиля, величины, входящие в (14) могут быть найдены следующим образом :

¡х = - Г г3^ I с =| Ш2ds S0с =| Шds а =|Rds (15)

Используя формулы (13) - (15), а так же сделав замену: х = Ь/Ъ и хг = г/Ь, запишем выражения, необходимые для дальнейших вычислений для стержней сечением в виде двутавра и швеллера:

4 = - (2Ь + Ъ) ;

л й2Ь5 ds = -

1 + 3ХХ22 (2^1 +1) 10

^ = - (2Ь + Ъ) ;

Гк2Ьъ (3Ь + 2Ъ) 1ш = 12(Ъ+6Ь) ;

Ь (23Ъ4Ь + 31Ъ3Ь2 - 9Ъ2Ь3 + 63Ъ5 - 9Ь4Ъ + 18Ь5) "

Х2 (2/1 + 1)(18/,5 -9/1 -9/3 + 31/Г + 23^ + 63)

Абсолютно естественно ограничить значение величин % и %2 в следующих пределах: 0 < %, %2 < \ . Но, учитывая критерий тонкостенности, неравенство можно сделать еще более жестким:

0 < % < 0,2

Так как коэффициент у представляет собой функцию двух переменных, а именно Х\ и х2, то удобно построить трехмерный график (рис. \) зависимости

Двутавр Швеллер

Рис. \ Зависимость значения коэффициента у от безразмерных параметров х и х2 для стержней двутаврового и швеллерного поперечного профилей.

Из графиков видно, что величина у увеличивается с увеличением отношения х2 = ?/Ь, т.е. у увеличивается с уменьшением «тонкостенности». Видно, что величина у не превышает значения ¡,03 для двутавра и ¡,¡2 для швеллера. По графику выберем такое поперечное сечение в виде швеллера, чтобы у было наиболее близко к максимальному значению. Например, подходит швеллер со следующими размерами: В = 0,032 м; Н = 0,05 м; t = 0,007 м, для которого у = \,П34. Для выбранного стержня определим максимальные значения перемещения для двух разных теорий и сведем их в таблицу 2. Как видно из таблицы, учет сдвига дает сколько-нибудь стоящее уточнение результата только в том случае, если на стержень действует нагрузка связанная с бимоментом (сосредоточенный или распределенные бимоменты). Это уточнение влияет только на величину функции меры депланации, никак не затрагивая величину угла закручивания.

Несмотря на то, что учет деформации сдвига дает лишь незначительное уточнение результата в довольно ограниченных случаях, и может показаться, что учет деформаций сдвига при решении задач статики носит избыточный характер, однако использование полусдвиговой теории позволяет разработать единый подход к расчету тонкостенных стержней открытого и замкнутого профилей [!] .

Таблица 2. Максимальные значения перемещений

Расчетная схема

Полусдвиговая теория Сливкера

Бессдвиговая теория Власова

в = 15,11005 £=10,94460

в = 15,05530 £=11,02295

в = 16,07645 £=12,44343

в = 16,07645 £=12,46654

в = 62,47679 £=23,52471

в = 62,36727 £=23,61907

в = 25,37727 £=5,15553

в = 25,35537 £=5,15553

в = 0,51555 £=6,63832

в = 0,51555 £=6,29402

в = 25,33227 £=5,73502

в = 25,35537 £=5,15553

Литература

1. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие.

М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

2. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. - М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

3. Дьяков С.Ф. Построение и анализ конечных элементов тонкостенного стержня открытого профиля с учетом деформаций сдвига при кручении/ С.Ф. Дьяков, В.В. Ла-лин // Вестник Пермского гос. технического ун-та. - 2011. - №2. - С. 130-140.

4. Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. -М.: Стройиздат, 1962. - 476 с.

5. Джанилидзе Г.Ю. Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. - Л. Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. - 208 с.

R e f e r e n c e s

1. Slivker V.I. Stroitelnaya Mechanika. Variatsionnie osnovi. - M.: Izd-vo ASV. - 2005. - 736 p.

2. Vlasov V.Z. Tonkostennie Uprugie Sterzhni. - M.: Fizmatgiz, 1959. - 568 p.

3. Dyakov S.F., Lalin V.V. Postroenie i analiz konechnih elementov tonkostennogo sterzhnya ot-kritogo profilya s uchotom deformatsiy sdviga pri kruchenii// Vestnik Permskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2011. - №2. - P. 130-140.

4. Bychkov D.V. Stroitelnaya Mechanika Sterzhnevih Tonkostennih Konstruktsiy. - M.: Stroyiz-dat, 1962. - 476 p.

5. Dzhanilidze G.Yu., Panovko Ya.G. Statika uprugih tonkostennih sterzhney. - L.: GITTL, 1948.

COMPARING THE RESULTS OF THE THIN-WALLED BAR TORSION PROBLEM ACCORDING TO VLASOV AND SLIVKER THEORIES

Sankt-Peterburgskiy gosudarstvenniy politehnicheskiy universitet, S.-Peterburg Using complicated multi-element constructions while designing civil structures and bridges consisted of thin-walled bars with open cross-section faces problems connected with the constricted-torsion. Solution for the differential equation of the twisted thin-walled bar with allowance for shearing is obtained and compared to the classical Vlasov"s theory.

KEY WORDS: thin-walled bar, semi-shearing theory, differential equation of the twisted thin-walled bar.